黎曼映射定理

在數學中，黎曼映射定理是複分析最深刻的定理之一，此定理分類了${\displaystyle \mathbb {C} }$的單連通開子集。

定理陳述

設${\displaystyle D:=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$為開圓盤，${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$為單連通開子集。若${\displaystyle \Omega \neq \mathbb {C} }$，則存在一對一的全純映射${\displaystyle f:\Omega \to D}$，使${\displaystyle f^{-1}:D\to \Omega }$亦全純。換言之，${\displaystyle \Omega }$與${\displaystyle D}$ 雙全純同構。

注意到二維的全純映射不外乎保持定向的共形映射，它保持角度與定向不變。

簡史

黎曼在他1851年的博士論文中陳述了這個結果，但其證明不完整。康斯坦丁·卡拉西奧多里在1912年發表了第一個完整證明。

注記

• 黎曼映射定理乃是存在性定理，一般無法具體表示從${\displaystyle \Omega }$至${\displaystyle D}$的全純映射。
• 定理中對${\displaystyle \Omega }$的條件極寬鬆；舉例明之，${\displaystyle \Omega }$的邊界可能是碎形曲線，但${\displaystyle \Omega }$仍可透過共形映射映至單位圓盤，這在直觀上是很難想像的。
• 此定理對${\displaystyle \pi _{1}(\Omega ,*)=\mathbb {Z} }$時即告失效：環型區域（形如${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :r<|z|<R\}}$）之間的共形映射僅有反演、縮放與旋轉。
• 此定理在更高維度即不成立。
• 在黎曼曲面的框架下，此定理可推廣為單值化定理：單連通黎曼曲面必同構於${\displaystyle \mathbb {C} ,D}$或${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$。

證明概要

給定${\displaystyle U}$和${\displaystyle z_{0}}$，我們希望構造一個函數${\displaystyle f}$，它把${\displaystyle U}$映射到單位圓盤，把${\displaystyle z_{0}}$映射到${\displaystyle 0}$。在這個證明概要中，我們假設${\displaystyle U}$是有界的，且其邊界是光滑的，就像黎曼所做的那樣。記

${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})\exp(g(z))\,\!}$

其中${\displaystyle g=u+iv}$是某個（待確定的）全純函數，其實數部分為${\displaystyle u}$，虛數部分為${\displaystyle v}$。於是顯然z₀是f的唯一一個零點。我們要求對於${\displaystyle U}$的邊界上的${\displaystyle z}$有${\displaystyle |f(z)|=1}$，因此我們需要在邊界上有${\displaystyle u(z)=-\log |z-z_{0}|}$。由於${\displaystyle u}$是全純函數的實數部分，我們知道${\displaystyle u}$一定是一個調和函數，也就是說，它滿足拉普拉斯方程。

於是問題變為：存在某個實值調和函數${\displaystyle u}$，對所有的${\displaystyle U}$都有定義，且具有給定的邊界條件嗎？狄利克雷原理提供了肯定的答案。只要確立了u的存在，全純函數${\displaystyle g}$的柯西-黎曼方程便允許了我們求出${\displaystyle v}$（這個論證依賴於${\displaystyle U}$是單連通的假設）。一旦構造了${\displaystyle u}$和${\displaystyle v}$，我們還需要驗證所得到的函數${\displaystyle f}$確實滿足所有需要的性質。

文獻

• John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3
• John B. Conway, Functions of one complex variable II, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94460-5
• Reinhold Remmert, Classical topics in complex function theory, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98221-3
• Bernhard Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Göttingen, 1851