同調鏡像對稱

同調鏡像對稱是馬克西姆·孔采維奇提出的數學猜想，為研究弦理論的物理學家首次觀察到的鏡像對稱現象尋求一種系統的數學解釋。

歷史

Kontsevich (1994)在蘇黎世國際數學家大會上發言，推測一對卡拉比-丘流形X、Y的鏡像對稱可以解釋為由X的代數幾何構造的三角範疇（X上凝聚層的導出範疇）和由Y的辛幾何構造得三角範疇（導出深谷範疇）的等價性。 愛德華·威滕最初描述了將N=(2,2)超對稱場論拓撲扭曲為他所謂A、B模型拓撲弦論，涉及從黎曼曲面到固定目標（通常是卡拉比-丘流形）的映射。鏡像對稱的大多數預言包含於Y上的A模型與其鏡像X上的B模型的物理等價中。黎曼曲面的邊界為空時，它們表示閉弦的世界面。為涵蓋開弦情形，必須引入邊界條件以保持超對稱。A模型的邊界條件是Y的拉格朗日子流形形式，並帶有一些附加結構（通常稱為膜結構）；B模型的邊界條件，形式是X的全純（或代數）子流形，與其上的全純（或代數）向量叢。這些是用於建立相關範疇的對象，通常稱作A膜、B膜。範疇中的態射來自兩膜之間伸展的開弦的無質譜。

閉弦A、B模型只捕捉到了所謂拓撲部分，是全體弦論的一小部分。相似地，模型中的膜也只是D膜這一完整動力學對象的拓撲近似。即便如此，這部分弦論產生的數學也深奧而困難。

2016-17年，普林斯頓高等研究院數學學院用了整整一學年時間研究同構鏡像對稱，參與者包括MIT的Paul Seidel、法國高等科學研究所的馬克西姆·孔采維奇、伯克利加州大學的Denis Auroux。^[1]

例子

數學家只在幾個例子中驗證了這一猜想。孔采維奇在自己的開創性演講中評論說，這個猜想可用Θ函數在橢圓曲線的情形下證明。Alexander Polishchuk和Eric Zaslow根據這一思路證明了橢圓曲線版本猜想。深谷賢治建立了阿貝爾簇猜想的元素。之後，孔采維奇和Yan Soibelman利用SYZ猜想的思想，證明了仿射流形上的非奇異環面叢上的猜想的大部分內容。2003年，Paul Seidel證明了四次曲面情形的猜想。Hausel & Thaddeus (2002)在希欽系統和朗蘭茲對偶性的背景下解釋了SYZ猜想。

霍奇菱形

調和${\displaystyle (p,\ q)}$微分形式（等價於上同調，即閉形式模正合形式）空間的維度${\displaystyle h^{p,\ q}}$按慣例排列為菱形，稱作霍奇菱形。可以用弗里德里希·希策布魯赫描述的生成函數算出完全交的這些(p,q)-貝蒂數。^[2][3][4]例如，對於3維流形，霍奇菱形的p與q值範圍為0到3:

			h3,3
		h3,2		h2,3
	h3,1		h2,2		h1,3
h3,0		h2,1		h1,2		h0,3
	h2,0		h1,1		h0,2
		h1,0		h0,1
			h0,0

鏡像對稱將原流形的(p, q)次微分形式${\displaystyle h^{p,\ q}}$的維數轉化為相對的流形的${\displaystyle h^{n-p,\ q}}$。也就是說，對任意卡拉比-丘流形，霍奇菱形在旋轉π弧度下保持不變，與鏡像卡拉比-丘流形的霍奇菱形在旋轉π/2弧度後相關聯。

橢圓曲線被視為1維卡拉比-丘流形的情形下，霍奇菱形非常簡單：

	1
1		1
	1

K3曲面被視為2維卡拉比-丘流形，因為其貝蒂數是{1, 0, 22, 0, 1}，霍奇菱形如下：

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

3維情形中，通常稱作卡拉比-丘流形，會發生非常有趣的事。有時會出現鏡像對，如M、W，具有沿對角線相互對稱的霍奇菱形。

M的菱形：

			1
		0		0
	0		a		0
1		b		b		1
	0		a		0
		0		0
			1

W的菱形：

			1
		0		0
	0		b		0
1		a		a		1
	0		b		0
		0		0
			1

M、W對應弦論中的A、B模型。鏡像對稱不僅取代了同調維度，還取代了鏡像對上的辛結構與復結構，這就是同調鏡像對稱的起源。

1990-1991年，Candelas et al. 1991的研究不僅對枚舉代數幾何，還對整個數學產生了重大影響，並啟發了Kontsevich (1994)。文中，兩五次三維流形的鏡像對有如下霍奇菱形。

1 0 0 0 1 0 1 101 101 1 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 101 0 1 1 1 1 0 101 0 0 0 1

另見

• 鏡像對稱猜想
• 拓撲量子場論
• 範疇論
• 弗洛爾同調
• 深谷範疇
• 導出範疇
• 五次三維流形