最小偏向角

此章節需要擴充：用微積分推導最小偏向運算式 (2020年6月1日)

在最小偏向下，稜鏡中的折射光線平行於其底部。換句話說，光線對於稜鏡的對稱軸是對稱的^[1]^[2]^[3]。此外，折射角是相等的，即 $r 1 = r 2$ 。入射角和出射角彼此相等（ $i = e$ ）。這在下圖中清晰可見。

通過利用稜鏡的幾何形狀，可以推導出最小偏向的公式。該方法涉及通過使用上述內容，在偏向和棱鏡角度方面替換司乃耳定律中的變數。

從角度之和 ${\textstyle \triangle OPQ}$ ，

$A+\angle OPQ+\angle OQP=180^{\circ }$ $\implies A=180^{\circ }-(90-r)-(90-r)$ $\implies r={\frac {A}{2}}$

使用外角定理 ${\textstyle \triangle PQR}$ ，

$D_{m}=\angle RPQ+\angle RQP$ $\implies D_{m}=i-r+i-r$ $\implies 2r+D_{m}=2i$ $\implies A+D_{m}=2i$ $\implies i={\frac {A+D_{m}}{2}}$

這也可以通過以下管道得出 $i = e$ 在稜鏡公式中： $i + e = A + δ$

根據司乃耳定律，

$n_{21}={\dfrac {\sin i}{\sin r}}$

$\therefore n_{21}={\dfrac {\sin \left({\dfrac {A+D_{m}}{2}}\right)}{\sin \left({\dfrac {A}{2}}\right)}}$ ^[4]^[3]^[1]^[2]^[5]。

$\therefore D_{m}=2\sin ^{-1}\left(n\sin \left({\frac {A}{2}}\right)\right)-A$

（此處 $n$ 是折射率， $A$ 是稜柱的角度， $D m$ 是最小偏向角。）

這是一種方便的方法，用於量測才料（液體或氣體）的折射率，方法是將光線以最小偏向穿過填充有材料的稜鏡或浸入其中的玻璃稜鏡，稜鏡的厚度可以忽略不計^[5]^[3]^[1]。

舉個例子：

更多信息

...

玻璃的折射率為1.5。等邊稜鏡的最小偏向角以及相應的入射角是理想的。
答案：37°, 49° 解決方案：在這裡， $A = 60°$ , $n = 1.5$ 將它們代入上述公式， ${\textstyle {\frac {\sin \left({\frac {60+\delta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {60}{2}}\right)}}=1.5}$ ${\textstyle \implies {\frac {\sin \left(30+{\frac {\delta }{2}}\right)}{\sin(30)}}=1.5}$ ${\textstyle \implies \sin \left(30+{\frac {\delta }{2}}\right)=1.5\times 0.5}$ ${\textstyle \implies 30+{\frac {\delta }{2}}=\sin ^{-1}(0.75)}$ ${\textstyle \implies {\frac {\delta }{2}}=48.6-30}$ ${\textstyle \implies \delta =2\times 18.6}$ ${\textstyle \therefore \delta \approx 37^{\circ }}$ 此外， ${\textstyle i={\frac {(A+\delta )}{2}}={\frac {60+2\times 18.6}{2}}\approx 49^{\circ }}$ 這在下圖中也很明顯。

玻璃的折射率為1.5。等邊稜鏡的最小偏向角以及相應的入射角是理想的。

答案：37°, 49°

解決方案：在這裡， $A = 60°$ , $n = 1.5$

將它們代入上述公式，

${\textstyle {\frac {\sin \left({\frac {60+\delta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {60}{2}}\right)}}=1.5}$

${\textstyle \implies {\frac {\sin \left(30+{\frac {\delta }{2}}\right)}{\sin(30)}}=1.5}$

${\textstyle \implies \sin \left(30+{\frac {\delta }{2}}\right)=1.5\times 0.5}$

${\textstyle \implies 30+{\frac {\delta }{2}}=\sin ^{-1}(0.75)}$

${\textstyle \implies {\frac {\delta }{2}}=48.6-30}$

${\textstyle \implies \delta =2\times 18.6}$

${\textstyle \therefore \delta \approx 37^{\circ }}$

此外，

${\textstyle i={\frac {(A+\delta )}{2}}={\frac {60+2\times 18.6}{2}}\approx 49^{\circ }}$

這在下圖中也很明顯。

更多信息 在這裡，

...

如果折射率為1.4的稜鏡的最小偏向角等於其折射角，則稜鏡需要的角度。
答案：60° 解決方案：在這裡， ${\textstyle \delta =r}$ ${\textstyle \implies \delta ={\frac {A}{2}}}$ 使用上述公式， ${\textstyle {\frac {\sin \left({\frac {A+{\frac {A}{2}}}{2}}\right)}{\sin \left({\frac {A}{2}}\right)}}=1.4}$ ${\textstyle \implies {\frac {\sin \left({\frac {3A}{4}}\right)}{\sin \left({\frac {A}{2}}\right)}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}$ ${\textstyle \implies {\frac {\sin \left({\frac {3A}{4}}\right)}{\sin \left({\frac {A}{2}}\right)}}={\frac {\sin 45^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}}}$ ${\textstyle \therefore A=60^{\circ }}$

如果折射率為1.4的稜鏡的最小偏向角等於其折射角，則稜鏡需要的角度。

答案：60°

解決方案：

在這裡， ${\textstyle \delta =r}$

${\textstyle \implies \delta ={\frac {A}{2}}}$

使用上述公式， ${\textstyle {\frac {\sin \left({\frac {A+{\frac {A}{2}}}{2}}\right)}{\sin \left({\frac {A}{2}}\right)}}=1.4}$

${\textstyle \implies {\frac {\sin \left({\frac {3A}{4}}\right)}{\sin \left({\frac {A}{2}}\right)}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}$

${\textstyle \implies {\frac {\sin \left({\frac {3A}{4}}\right)}{\sin \left({\frac {A}{2}}\right)}}={\frac {\sin 45^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}}}$

${\textstyle \therefore A=60^{\circ }}$

此外，偏向角隨任意入射角的變化，可以概括為一個方程式，通過將δ表示為 $i$ ，在使用司乃耳定律的稜鏡公式中：

$\delta =i-A+\sin ^{-1}\left(n\cdot \sin \left(A-\sin ^{-1}\left({\frac {\sin i}{n}}\right)\right)\right)=f(i)(say)$

找到該方程的最小值也將給出與上述最小偏向相同的關係。

放 $f'(i)=0$ ，我們得到，

${\frac {\cos \left(A-\sin ^{-1}\left({\frac {\sin i}{u}}\right)\right)\cos i}{\sqrt {\left(1-u^{2}\sin ^{2}\left(A-\sin ^{-1}\left({\frac {\sin i}{u}}\right)\right)\right)\left(1-{\frac {\sin ^{2}i}{u^{2}}}\right)}}}=1$ ，通過求解該方程，我們可以得到稜鏡角度一定值的入射角值和稜鏡的相對折射率值，從而得到最小偏向角。給出了方程和描述here （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。