完整群
微分幾何的概念 / 維基百科,自由的 encyclopedia
微分幾何中,一個微分流形上的聯絡的完整[1](英語:holonomy,又譯和樂),描述向量繞閉圈平行移動一週回到起點後,與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性(英語:monodromy)現象,其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。
流形上任意一種聯絡,都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出,例如黎曼幾何中列維-奇維塔聯絡的和樂(稱為黎曼和樂)。向量叢聯絡的和樂、嘉當聯絡的和樂,以及主叢聯絡的和樂。在該些例子中,聯絡的和樂可用一個李群描述,稱為和樂群。聯絡的和樂與其曲率密切相關,見安布羅斯-辛格定理。
對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由Élie Cartan (1926)引入,以用於對稱空間(英語:symmetric space)的分類上。然而,很久以後,和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952年, 喬治·德拉姆證明了德拉姆分解定理:若黎曼流形的切叢可分解成局域和樂群作用下不變的子空間,則該流形分解為黎曼流形的笛卡兒積。稍後,於1953年,馬塞爾·伯格(英語:Marcel Berger) 給出所有不可約和樂的分類[2]。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和弦論。