圓內接四邊形的日本定理

在幾何學中，圓內接四邊形的日本定理指出，圓內接四邊形內某些三角形的內心形成一個矩形。

任意圓內四邊形被對角線分成四個三角形（每條對角線分出兩個三角形）。這些三角形的內心形成一個矩形。

具體而言，設□ABCD為任意圓內接四邊形， M₁, M₂, M₃, M₄分別為三角形△ABD, △ABC, △BCD, △ACD內心，則M₁, M₂, M₃, M₄所構成的四邊形為矩形。

證明1

□M₁M₂M₃M₄是矩形。

${\displaystyle \left|\sphericalangle ABD\right|=\left|\sphericalangle ACD\right|}$

（以下稱為${\displaystyle \alpha }$角），因為這兩個角都是弦${\displaystyle {\overline {AD}}}$的周角。

因為

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\sphericalangle AM_{1}D\right|&=180^{\circ }-{\frac {\left|\sphericalangle BAD\right|+\left|\sphericalangle BDA\right|}{2}}\\&=180^{\circ }-{\frac {180^{\circ }-\left|\sphericalangle ABD\right|}{2}}\\&=90^{\circ }+{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}\end{aligned}}}$

由此可得，

${\displaystyle \left|\sphericalangle AM_{1}D\right|=\left|\sphericalangle AM_{4}D\right|=90^{\circ }+{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}}$

由於這些角相等，${\displaystyle \square AM_{1}M_{4}D}$是一個圓內接四邊形。

根據圓內接四邊形的性質，現在有${\displaystyle \left|\sphericalangle M_{1}M_{4}D\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle DAM_{1}\right|}$

同樣地，對於${\displaystyle \square DCM_{4}M_{3}}$也成立：

${\displaystyle \left|\sphericalangle DM_{4}M_{3}\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle M_{3}CD\right|}$

角度相加，得到以下結果

${\displaystyle \left|\sphericalangle M_{1}M_{4}D\right|+\left|\sphericalangle DM_{4}M_{3}\right|=360^{\circ }-\left|\sphericalangle DAM_{1}\right|-\left|\sphericalangle M_{3}CD\right|=360^{\circ }-{\frac {\left|\sphericalangle DAB\right|+\left|\sphericalangle BCD\right|}{2}}=360^{\circ }-{\frac {180^{\circ }}{2}}={\underline {\underline {270^{\circ }}}}}$

由於

${\displaystyle \sphericalangle M_{1}M_{4}M_{3}=270^{\circ }}$

所以

${\displaystyle \sphericalangle M_{3}M_{4}M_{1}=90^{\circ }}$

以上對於點${\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}}$之間的其他角度也同樣成立，它們都是${\displaystyle 90^{\circ }}$。

因此，${\displaystyle \square M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}}$是一個矩形。證畢。^[1]

證明2

根據Thébault定理(3)有如下結論^[2]：

定理 — 

Thébault定理(3)

給定任意三角形${\displaystyle ABC}$，${\displaystyle BC}$上任意一點${\displaystyle M}$。作兩個圓，均與${\displaystyle AM}$、${\displaystyle BC}$、外接圓相切。該兩圓的圓心${\displaystyle P}$、${\displaystyle Q}$和三角形內心${\displaystyle I}$三點共線共線，且

${\displaystyle {\frac {PI}{IQ}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}}$

其中${\displaystyle \theta =\angle AMB}$.

下面開始處理原題。

先標記題目中四個三角形的內心是${\displaystyle I_{a}}$、${\displaystyle I_{b}}$、${\displaystyle I_{c}}$、${\displaystyle I_{d}}$.

假設對角線 AC 和 BD 交於 E.

與線段 AE、BE 及外接圓相切的圓的圓心記為${\displaystyle O_{cd}}$，

類似地，與線段 BE、CE 及外接圓相切的圓的圓心記為${\displaystyle O_{da}}$、與線段 CE、DE 及外接圓相切的圓的圓心記為${\displaystyle O_{ab}}$、與線段 DE、AE 及外接圓相切的圓的圓心記為${\displaystyle O_{bc}}$.

設 AE、BE 的夾角是${\displaystyle \theta }$，根據上面的Thébault定理(3)有如下結論：

${\displaystyle O_{da}}$、${\displaystyle I_{d}}$、${\displaystyle O_{cd}}$三點共線，且

${\displaystyle {\frac {O_{cd}I_{d}}{I_{d}O_{da}}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}}$

同理，${\displaystyle O_{ab}}$、${\displaystyle I_{a}}$、${\displaystyle O_{da}}$三點共線，且

${\displaystyle {\frac {O_{ab}I_{a}}{I_{a}O_{da}}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}}$

所以，

${\displaystyle I_{a}I_{d}/\!/O_{ab}O_{cd}}$

由於 ${\displaystyle O_{cd}O_{ab}\perp O_{da}O_{bc}}$ (因為它們沿着角 ${\displaystyle E}$ 的角平分線)，所以 ${\displaystyle I_{a}I_{d}\perp I_{d}I_{c}}$，所以 ${\displaystyle I_{a}I_{b}I_{c}I_{d}}$ 是矩形。證畢。

推廣

過${\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}}$作四邊形的對角線的平行線，形成一個平行四邊形，由作圖可知平行四邊形為菱形，於是「與各對角線相切的內切圓半徑之和相等」。

該定理可推廣到圓內接多邊形的日本定理。

證明了四邊形的情況後，可以把一般多邊形分成三角形進行歸納而立即證明一般情況。

又見

• 卡諾定理
• 算額
• 日本數學