潘勒韋分析

潘勒韋分析原是保羅·潘勒韋在1895年關於非線性常微分方程可積性的理論，後經數學家推廣到分析非線性偏微分方程中，並發展出幾種程序，常見的有Ablowitz-Ramani-Segur(ARS)程序、Weiss-Tabor-Carnevale(WTC)程序和Kruskal簡化法等。潘勒韋分析的過程複雜，需藉助Maple、Mathematica等計算機代數系統進行運算^[1]

Kruskal 簡化法原理

對於給定的 偏微分方程

   ${\displaystyle F(u_{x},u_{t},u_{xx},\cdot \cdot \cdot )=0;}$

假設其解可展開為Laurent級數形式：

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{k=0}^{\infty }(u[j](t)*\phi ^{j},j=0..N))/\phi ^{\rho }}$

設定方程解的首項目可以表示為

${\displaystyle u}$≈${\displaystyle \psi ^{-\rho }*u_{0}}$

代人原式，平衡φ的冪次，得到一個含共振點的遞推關係，如果對於任意的u(j)、φ，此遞推關係是自相容的，則原來的方程是可積的。

實例

伯格斯方程的潘勒韋分析

${\displaystyle sys:={\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}+au(x,t){\frac {\partial u(x,t)}{\partial x}}+b{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}=0}$

作Laurent級數展開

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{k=0}^{\infty }(u[j](t)\phi ^{j},j=0..N))/\phi ^{\rho }}$

其中${\displaystyle \phi =x-\psi (t)}$ 和 ${\displaystyle u_{j}=u_{j}(t)}$ 是非特徵奇異點流型${\displaystyle x-\psi (t)=0}$ 和 u[0]≠0附近的解析函數。

設定方程解的首項可以表示為

${\displaystyle u}$≈${\displaystyle \psi ^{-\rho }u_{0}}$

代人原式，得到

${\displaystyle \rho \phi u[0]\psi [t]}$${\displaystyle -\phi ^{-\rho +1}u[0]^{2}\rho a-\rho (-b-b\rho )u[0]+\phi ^{2}u[0,t]=0}$

平衡最高階微商與非線性項，得到：

ρ=1，u[0] = 2 b/a；

將 ${\displaystyle u(x,t)=2*b/(a*(x-\psi ))+u[j]*(x-\psi )^{(}j-1)}$ 代人偏微分方程，

φ的最低次項為

${\displaystyle \phi ^{j-3}*b*(j+1)*(j-2)=0}$

代入伯格斯方程，

因此 j=-1,2

取 ${\displaystyle u(x,t)=\sum _{k=0}^{2}{\frac {u[j](t)\phi ^{j})}{\phi }}}$ 再帶入原方程得：

${\displaystyle a*\phi ^{4}*u[2]^{2}-(-u[1]*a+\psi [t])*\phi ^{3}*u[2]+\phi ^{4}*u[2,t]+\phi ^{3}*u[1,t]+\phi ^{2}*u[0,t]+(-u[1]*a+\psi [t])*u[0]*\phi -u[0]^{2}*a+2*b*u[0]}$

整理後，令其φ 的2次、1次，及常數項為零 得到一組多項式方程組：

${\displaystyle u[0,t]=0,-(u[1]*a-\psi [t])*u[0]=0,-u[0]*(-2*b+a*u[0])}$

伯格斯方程通過潘勒韋測試的條件是 在截短短展開式中，φ、u[2] 是任意函數。

經過一系列運算可知 u[2],φ為任意函數，伯格斯方程乃潘勒韋可積，其解有如下形式：

${\displaystyle u(x,t)={\frac {2*b}{a*(x-\psi )}}+{\frac {\psi [t]}{a}}+(x-\psi )*u[2]}$