積分第一中值定理

積分第一中值定理的內容為：

設 ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} }$ 為一連續函數，${\displaystyle g:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} }$ 要求g(x)是可積函數且在積分區間不變號，那麼存在一點 ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$ 使得

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(\xi )\int _{a}^{b}g(x)\,dx}$。

事實上，可以證明，上述的中值點${\displaystyle \xi }$必能在開區間${\displaystyle (a,b)}$內取得^[1]，見下方中值點在開區間內存在的證明。

證明

因為 ${\displaystyle f\ }$ 是閉區間上的連續函數，${\displaystyle f\ }$ 取得最大值 ${\displaystyle \mathrm {M} \ }$ 和最小值 ${\displaystyle \mu \ }$。於是

${\displaystyle \mathrm {M} g(x)\geq f(x)g(x)\geq \mu g(x)}$。

對不等式求積分，我們有

${\displaystyle \mathrm {M} \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x\geq \int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x\geq \mu \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x}$。

若 ${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x=0}$，則 ${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x=0}$。${\displaystyle \xi \ }$ 可取 ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]\ }$ 上任一點。

設 ${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x>0}$，那麼

${\displaystyle \mathrm {M} \geq {\frac {\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x}{\int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x}}\geq \mu }$。

因為 ${\displaystyle \mathrm {M} \geq f(x)\geq \mu }$是連續函數，根據介值定理，必存在一點 ${\displaystyle \xi \in [\alpha ,\beta ]}$，使得

${\displaystyle f(\xi )={\frac {\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x}{\int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x}}}$。

中值點在開區間內存在的證明

已知${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle [a,b]}$上連續，設${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$。

知${\displaystyle F(x)}$在${\displaystyle [a,b]}$上連續，在${\displaystyle (a,b)}$內可導，應用拉格朗日中值定理，可得：

${\displaystyle {\dfrac {F(b)-F(a)}{b-a}}=F'(\xi )}$，其中${\displaystyle \xi \in (a,b)}$

即

${\displaystyle {\dfrac {\int _{a}^{b}f(t)\,dt-\int _{a}^{a}f(t)\,dt}{b-a}}=f(\xi )}$

所以

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(\xi )(b-a),\xi \in (a,b)}$。