代數數論
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在數學中,代數數論(英語:Algebraic number theory)是數論的一支,在這個數學分支中,「數」的概念延伸到代數數上,以解決具體的數論問題。這類數是有理系數多項式的根。與此相關的概念是數體,這是有理數域的有限擴張。依照同樣的動機,整數可以被推廣為為代數整數,然後研究一個數體裏的代數整數。
代數整數在加法、減法與乘法下構成一個環,但整數的許多性質並不能推廣到一般數體裏的代數整數上,其中一個例子是質因數分解的唯一性(又稱算術基本定理),這是十九世紀數學家試圖證明費馬大定理時遇到的主要阻礙,然而代數數論的應用不僅止於此。數學中一些較深入的理論有助於讓我們了解代數數與代數整數的性質——包括伽羅瓦理論、伽羅瓦上同調、類體論、群表示論與L-函數的相關理論等等。
數論中的許多問題可藉由「模 p」(其中 p 為質數)來研究。這套技術導向p進數的建構,而p進數是局部體的例子;局部體的研究運用了一些研究數體時的相同方法,但是通常更容易處理。各個局部體上性質時常可以上升到整體數體上性質,例如哈瑟原理:
「一個有理系數二次方程在有理數體上有解,當且僅當它在實數上及在每個質數 p 之 p進數體上有解」。
這類結果往往被稱作局部-整體原理,其中「局部」意指局部體,而「整體」意指數體。