冪集公理維基百科,自由的 encyclopedia 在數學中,冪集公理是公理化集合論的Zermelo-Fraenkel公理之一。 在Zermelo-Fraenkel公理的形式語言中,這個公理讀做: ∀ A , ∃ P ( A ) , ∀ x : x ∈ P ( A ) ⟺ ( ∀ y : y ∈ x ⟹ y ∈ A ) {\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff (\forall y:y\in x\implies y\in A)} 或簡寫為: ∀ A , ∃ P ( A ) , ∀ x : x ∈ P ( A ) ⟺ x ⊆ A {\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff x\subseteq A} 換句話說: 給定任何集合A,有着一個集合 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} 使得,給定任何集合x,x是 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} 的成員,若且唯若x是A的子集。 通過外延公理可知這個集合是唯一的。我們可以稱集合 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} 是A的冪集。所以這個公理的本質是: 所有集合都有一個冪集。 冪集公理一般被認為是無可爭議的,它或它的等價命題出現在所有可替代的集合論的公理化中。
在數學中,冪集公理是公理化集合論的Zermelo-Fraenkel公理之一。 在Zermelo-Fraenkel公理的形式語言中,這個公理讀做: ∀ A , ∃ P ( A ) , ∀ x : x ∈ P ( A ) ⟺ ( ∀ y : y ∈ x ⟹ y ∈ A ) {\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff (\forall y:y\in x\implies y\in A)} 或簡寫為: ∀ A , ∃ P ( A ) , ∀ x : x ∈ P ( A ) ⟺ x ⊆ A {\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff x\subseteq A} 換句話說: 給定任何集合A,有着一個集合 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} 使得,給定任何集合x,x是 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} 的成員,若且唯若x是A的子集。 通過外延公理可知這個集合是唯一的。我們可以稱集合 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} 是A的冪集。所以這個公理的本質是: 所有集合都有一個冪集。 冪集公理一般被認為是無可爭議的,它或它的等價命題出現在所有可替代的集合論的公理化中。