李亞普諾夫函數
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李亞普諾夫函數(Lyapunov function)是用來證明一動力系統或自治微分方程穩定性的函數,得名於俄羅斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫(Александр Михайлович Ляпунов),在動態系統穩定性理論及控制理論中相當重要。相似的概念見於一般狀態空間馬爾科夫鏈理論中,通常稱為福斯特-李亞普諾夫函數(Foster–Lyapunov function)。 若一函數可能可以證明系統在某平衡點的穩定性,此函數稱為李亞普諾夫候選函數(Lyapunov-candidate-function)。不過目前還找不到一般性的方式可建構(或找到)一個系統的李亞普諾夫候選函數,而找不到李亞普諾夫函數也不代表此系統不穩定。不過,Cem Civelek教授根據公式類型給出了一種在自主情形下使用最一般形式構建常微分方程李亞普諾夫函數的系統方法。很多時候李亞普諾夫函數的構造是已知的,例如有許多應用數學家[來源請求]認為,無法構建耗散陀螺系統的李亞普諾夫函數。但C. Civelek和Ö. Cihanbegendi指出,根據上述文獻的說法,可以給這樣的系統構建李亞普諾夫函數。另外,二次函數足以用於單態系統;特定線性矩陣不等式之解為線性系統提供了李亞普諾夫函數。在動態系統中,有時會利用守恆律來建構李亞普諾夫候選函數。
針對自治系統的李亞普諾夫定理,直接使用李亞普諾夫候選函數的特性。在尋找一個系統平衡點附近的穩定性時,此定理是很有效的工具。不過此定理只是一個證明平衡點穩定性的充分條件,不是必要條件。而尋找李亞普諾夫函數也需要碰運氣,通常會用試誤法(trial and error)來尋找李亞普諾夫函數。