動態系統
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數學中,動態系統(dynamical system)是用函數描述環繞空間中某點隨時間的變化情況的系統,例如描述鐘擺晃動、管道中水的流動,或者湖中每年春季魚類的數量,凡此等等的數學模型都是動態系統。對時空測量的不同選擇中,最一般的定義統一了數學中的數個概念,如常微分方程和遍歷理論。[來源請求]時間可用整數、實數或複數甚至更一般的代數物件來度量;空間可以是流形,也可以是集合,無需在其上定義光滑的時空結構。
在動態系統中有所謂狀態的概念,是一組可確定的實數。這組實數也是一種流形的幾何空間坐標。動態系統的演化規則是一組函數的固定規律,描述了當前狀態會如何產生未來狀態。這種規則是確定的,即對於給定的時間間隔內,從現在的狀態只能演化出一個未來的狀態。[1][2]不過也有隨機的系統,因為隨機事件也會影響狀態變量的演化。
若只是在一系列不連續的時間點考察系統的狀態,則這個動態系統為離散動態系統;若時間連續,就得到一個連續動態系統。如果系統以一種連續可微的方式依賴於時間,我們就稱它為一個光滑動態系統。 物理學中的動態系統被描述為「狀態隨時間變化,並因此服從涉及時間導數的微分方程的粒子(群)」。[3]要預測系統未來的行為,需要通過計算機模擬實現這些方程式的分析求解或隨時間積分。
對動態系統的研究是動態系統理論的重點,其在數學、物理學、[4][5]生物學、[6]化學、工程學、[7]經濟學、[8]歷史學和醫學等眾多領域都有應用。動態系統是混沌理論、邏輯斯諦映射動力學、分岔理論、自組裝和自組織過程與混沌邊緣概念的基本組成。