狄利克雷η函數維基百科,自由的 encyclopedia 其模形式參見戴德金η函數。在數學的解析數論領域,狄利克雷η函數定義為: η ( s ) = ( 1 − 2 1 − s ) ζ ( s ) {\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)} 複平面上的狄利克雷η函數 η ( s ) {\displaystyle \eta (s)} 。用顏色來編碼點 s {\displaystyle s} 的值 η ( s ) {\displaystyle \eta (s)} ,強烈的色彩表示接近零的值,色度值表示值的輻角。 其中 ζ 是黎曼ζ函數。但η函數也用常來定義黎曼ζ函數。 對實部為正數的複數s,也可定義為狄利克雷級數表達式形式: η ( s ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n s . {\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}.} 表達式僅當實部為正數時收斂。對任意複數,該表達式是一個阿貝爾和,可定義為一個整函數,並由此可知ζ函數是一個極點在s = 1的單極點亞純函數。 等價定義為: η ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s exp ( x ) + 1 d x x {\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\exp(x)+1}}{\frac {dx}{x}}} 定義在複平面上實部為正的區域,該定義形式是一個Mellin變換。 G·H·哈代給出一個函數方程的簡單證明: η ( − s ) = 2 π − s − 1 s sin ( π s 2 ) Γ ( s ) η ( s + 1 ) . {\displaystyle \eta (-s)=2\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).} 因此能將其擴展到整個複數域。
其模形式參見戴德金η函數。在數學的解析數論領域,狄利克雷η函數定義為: η ( s ) = ( 1 − 2 1 − s ) ζ ( s ) {\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)} 複平面上的狄利克雷η函數 η ( s ) {\displaystyle \eta (s)} 。用顏色來編碼點 s {\displaystyle s} 的值 η ( s ) {\displaystyle \eta (s)} ,強烈的色彩表示接近零的值,色度值表示值的輻角。 其中 ζ 是黎曼ζ函數。但η函數也用常來定義黎曼ζ函數。 對實部為正數的複數s,也可定義為狄利克雷級數表達式形式: η ( s ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n s . {\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}.} 表達式僅當實部為正數時收斂。對任意複數,該表達式是一個阿貝爾和,可定義為一個整函數,並由此可知ζ函數是一個極點在s = 1的單極點亞純函數。 等價定義為: η ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s exp ( x ) + 1 d x x {\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\exp(x)+1}}{\frac {dx}{x}}} 定義在複平面上實部為正的區域,該定義形式是一個Mellin變換。 G·H·哈代給出一個函數方程的簡單證明: η ( − s ) = 2 π − s − 1 s sin ( π s 2 ) Γ ( s ) η ( s + 1 ) . {\displaystyle \eta (-s)=2\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).} 因此能將其擴展到整個複數域。