在數學 中,1 − 2 + 4 − 8 + … 是一個無窮級數 ,它的每一項都是2的冪 而加減號則是交錯地排列。作為幾何級數, 它以 1 為首項,-2為公比。
∑
k
=
0
n
(
−
2
)
k
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}}
作為實數 級數,它發散 到無窮,所以在一般意義下它的和不存在。在更廣泛的意義下,這一級數有一個廣義的和為⅓。
戈特弗里德·萊布尼茨 於1673年已經細想過1 − 2 + 4 − 8 + … 這個交替的發散級數。他認為經過從右邊或左邊相減,分別可以得到正無限 及負無限,所以兩個答案都是錯的,而整個級數必為有限:
"如果兩個結論里沒有一個是可被接受的,或者說因為無法判斷哪個結論可被接受,自然一般會選擇處在兩個結論中間的結論,所以這個級數和是一個有限數。"
萊布尼茲並不是非常肯定這個級數有和 ,但是他根據墨卡托方法推測它和⅓有關係。[ 1] 在十八世紀,「一個數項級數的和可能等於一個並不是其逐項疊加的結果的有限數」是一個十分普通的觀點,儘管現代數學觀點同當時的觀點並沒有任何分別。[ 2]
當克里斯提安·沃爾夫 在1712年閱讀了萊布尼茲對格蘭迪級數 的解法後,[ 3] 他對此解法非常滿意,並設法通過這種方法去尋求更多解決發散級數問題的數學方法(如 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − … )。簡明地說,如果某人以倒數第二項的函數來表示級數的部分和的話,他得到的結果會是
4
m
+
1
3
{\displaystyle {\tfrac {4m+1}{3}}}
或者
−
4
n
+
1
3
{\displaystyle {\tfrac {-4n+1}{3}}}
。 這些值的平均值是
2
m
−
2
n
+
1
3
{\displaystyle {\tfrac {2m-2n+1}{3}}}
,然後假設m = n ,討論到無限後就得到了級數和是 ⅓ 。萊布尼茲的直覺在這時讓他避免了在沃爾夫的解法上費力氣。他給沃爾夫回信,說他的解法有點意思,但是因幾個原因而無效。 相鄰的兩個部分和並不收斂到任何一個特定值上,同時在任何有限條件下都有n = 2m ,而不是n = m 。總之,可求和級數的項最終都應收斂到零;即使 1 − 1 + 1 − 1 + … 也可以被表示成這種級數的極限。萊布尼茲勸沃爾夫再好好考慮一下,認為他說不定「可以搞出一些於他於科學都有價值的東西。」[ 4]
任何具有規律性、線性和穩定性 的求和方法都能對等比數列 (幾何級數)求和
∑
k
=
0
n
a
r
k
=
a
1
−
r
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}={\frac {a}{1-r}}}
.
在這種情況下 a = 1 且 r = −2,所以級數和是 ⅓。
在他1755年的《Institutiones》上,萊昂哈德·歐拉 採用了現在被稱為歐拉轉換 的方式處理1 − 2 + 4 − 8 + … ,得到了收斂級數½ − ¼ + ⅛ − 1 /16 + … 。因為後者的和為⅓,歐拉得出結論,認為1 − 2 + 4 − 8 + … = ⅓ 。[ 5] 他對於無窮級數的看法不太遵循現代方法。如今,我們稱1 − 2 + 4 − 8 + … 是歐拉可求和 ,其歐拉和是⅓。[ 6]
《Institutiones 》節選
歐拉轉換以正項序列開始:
a 0 = 1,
a 1 = 2,
a 2 = 4,
a 3 = 8, ….
而前向差分 序列是
Δa 0 = a 1 − a 0 = 2 − 1 = 1,
Δa 1 = a 2 − a 1 = 4 − 2 = 2,
Δa 2 = a 3 − a 2 = 8 − 4 = 4,
Δa 3 = a 4 − a 3 = 16 − 8 = 8, …,
這一序列與上一序列正好相同。因此對於每一n ,迭代前向差分序列均以Δn a 0 = 1 開始。級數的歐拉轉換如下:
a
0
2
−
Δ
a
0
4
+
Δ
2
a
0
8
−
Δ
3
a
0
16
+
⋯
=
1
2
−
1
4
+
1
8
−
1
16
+
⋯
.
{\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .}
上述級數是一收斂等比級數 ,按常規求和公式得出其和為⅓。
1 − 2 + 4 − 8 + … 的博雷爾和 也是 ⅓;博雷爾 於1896年介紹了博雷爾和極限的公式,這是他在關於1 − 1 + 1 − 1 + … [ 7] 後的首個實例之一。
Leibniz pp.205-207; Knobloch pp.124-125. 引自《De progressionibus intervallorum tangentium a vertice 》,拉丁語原文:「Nunc fere cum neutrum liceat, aut potius cum non possit determinari utrum liceat, natura medium eligit, et totum aequatur finito.」
沃爾夫第一次對信件的引用是發表在《Acta Eruditorum 》的來自德國哈雷 的一封信中,日期為1712年6月12日;Gerhardt,第143-146頁。
引言是Moore的解釋(第2-3頁);出自Gerhardt pp.147-148萊布尼茲的信,日期為1712年7月13日,來自漢諾威 。
Euler, Leonhard. Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum . 1755 [2010-02-26 ] . (原始內容存檔 於2008-02-25).
Ferraro, Giovanni; Panza, Marco. Developing into series and returning from series: A note on the foundations of eighteenth-century analysis . Historia Mathematica. 2003-02-01, 30 (1) [2022-10-12 ] . ISSN 0315-0860 . doi:10.1016/S0315-0860(02)00017-4 . (原始內容存檔 於2022-10-17) (英語) .
Leibnitz, Gottfried Wilhelm freiherr von. Leibnizens gesammelte Werke, herausg. von G.H. Pertz (C.L. Grotefend, C.I. Gerhardt). . 1860 [2022-10-12 ] . (原始內容存檔 於2022-10-12) (拉丁語) .
Knobloch, Eberhard. Beyond Cartesian limits: Leibniz's passage from algebraic to “transcendental” mathematics . Historia Mathematica. The Origins of Algebra: From al-Khwarizmi to Descartes. 2006-02-01, 33 (1) [2022-10-12 ] . ISSN 0315-0860 . doi:10.1016/j.hm.2004.02.001 . (原始內容存檔 於2022-10-17) (英語) .
Korevaar, Jacob. Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer. 2004. ISBN 3-540-21058-X .
Leibniz, Gottfried . S. Probst, E. Knobloch, N. Gädeke , 編. Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe 7, Band 3: 1672–1676: Differenzen, Folgen, Reihen . Akademie Verlag. 2003 [2010-02-26 ] . ISBN 3-05-004003-3 . (原始內容存檔 於2013-10-17).
Moore, Charles. Summable Series and Convergence Factors. AMS. 1938. LCC QA1 .A5225 V.22 .
Smail, Lloyd. History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. University of Oregon Press. 1925. LCC QA295 .S64 .