切比雪夫方程

切比雪夫方程（英語：Chebyshev equation）是指二階線性常微分方程

${\displaystyle (1-x^{2}){d^{2}y \over dx^{2}}-x{dy \over dx}+p^{2}y=0}$

其中p為一實常數。該方程是以俄羅斯數學家巴夫尼提·切比雪夫的名字命名的。

方程的解為冪級數

${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$

其中係數可通過以下遞推關係式計算：

${\displaystyle a_{n+2}={(n-p)(n+p) \over (n+1)(n+2)}a_{n}.}$

級數在${\displaystyle x\in [-1,1]}$上收斂（對遞推關係式應用比值審斂法可得）。

遞推關係的初值a₀與a₁可為任意值，由此可得微分方程不同的特解。通常初值可取為：

a₀ = 1 ; a₁ = 0，可得解

${\displaystyle F(x)=1-{\frac {p^{2}}{2!}}x^{2}+{\frac {(p-2)p^{2}(p+2)}{4!}}x^{4}-{\frac {(p-4)(p-2)p^{2}(p+2)(p+4)}{6!}}x^{6}+\cdots }$

以及

a₀ = 0 ; a₁ = 1，可得解

${\displaystyle G(x)=x-{\frac {(p-1)(p+1)}{3!}}x^{3}+{\frac {(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}}x^{5}-\cdots .}$

通解可表示為以上兩特解的任意線性組合。

當p為整數時，兩個函數中有一個為有限項：p為偶數時F為有限項，反之G為有限項。此時，那個為有限項的函數是一個p次多項式，並與p次切比雪夫多項式成比例：

${\displaystyle T_{p}(x)=(-1)^{p/2}\ F(x)\,}$ （p為偶數）

${\displaystyle T_{p}(x)=(-1)^{(p-1)/2}\ p\ G(x)\,}$ （p為奇數）

參考文獻

• Chebyshev equation on PlanetMath （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）