比值審斂法

比值審斂法（Ratio test）是判別級數斂散性的一種方法，又稱為達朗貝爾判別法（D'Alembert's test）^[1]。

無窮級數
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
無窮級數
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閱 論 編

定理

比值審斂法判斷流程表

設${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$為一級數，如果

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right|=\rho }$，

• 當ρ<1時級數絕對收斂
• 當ρ>1時級數發散
• 當ρ=1時級數可能收斂也可能發散。

證明

如果${\displaystyle \rho <1}$，那麼存在一個實數${\displaystyle r}$以及一個正整數${\displaystyle N}$，滿足${\displaystyle \rho <r<1}$，使得當${\displaystyle n>N}$時，總有${\displaystyle |a_{n+1}|<r|a_{n}|}$成立；因此在上述條件下，當${\displaystyle k}$為正整數時有${\displaystyle |a_{n+k}|<r^{k}|a_{n}|}$，於是根據無窮等比數列求和得出下式絕對收斂：

${\displaystyle \sum _{k=N+1}^{\infty }|a_{k}|=\sum _{k=1}^{\infty }|a_{N+k}|<|a_{N}|\sum _{k=1}^{\infty }r^{k}={\frac {|a_{N}|\cdot r}{1-r}}<\infty }$

如果${\displaystyle \rho >1}$，那麼同樣存在一個正整數${\displaystyle N}$，使得當${\displaystyle n>N}$時，總有${\displaystyle |a_{n+1}|>|a_{n}|}$，求和項的極限不為零，於是級數發散。

而當${\displaystyle \rho =1}$時，以${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$與${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$為例，結果同樣為${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {1}{n+1}}{\frac {1}{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1}$，但前者發散而後者收斂（後者收斂值為${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$），該例子可以用比較審斂法來審斂。

例子

收斂

考慮級數

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n+1}{e^{n+1}}}\cdot {\frac {e^{n}}{n}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {e^{n}}{e^{n}\cdot e}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|\left(1+{\frac {1}{n}}\right)\cdot {\frac {1}{e}}\right|\\&=1\cdot {\frac {1}{e}}={\frac {1}{e}}<1.\end{aligned}}}$

因此該級數收斂。

發散

考慮級數

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$	=${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|}$
	=${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {e^{n+1}}{n+1}}\cdot {\frac {n}{e^{n}}}\right|}$
	=${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n}{n+1}}\cdot {\frac {e^{n}\cdot e}{e^{n}}}\right|}$
	=${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|(1-{\frac {1}{n+1}})\cdot e\right|}$
	=${\displaystyle 1\cdot e}$
	=${\displaystyle \!\,e(>1)}$

因此該級數發散。

不能確定

級數

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1}$

發散，但

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1.}$

而級數

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

收斂，但

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1.}$

參見

• 根值審斂法
• 比較審斂法
• 拉比判別法