圓形函數

拓撲學和微積分中，圓形函數（round function）是流形M上的純量函數${\displaystyle M\to {\mathbb {R} }}$，其臨界點形成連通分量，每個都同胚於圓${\displaystyle S^{1}}$，因此也叫臨界環。圓形函數是莫爾斯–博特函數的特例。

黑色圓圈就是其中一個臨界環。

例子

例如，令M為環面；

${\displaystyle K=(0,2\pi )\times (0,2\pi ).\,}$

則知映射${\displaystyle X\colon K\to \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle X(\theta ,\phi )=((2+\cos \theta )\cos \phi ,(2+\cos \theta )\sin \phi ,\sin \theta )\,}$

是幾乎所有M的參數化。現在，將函數${\displaystyle \pi _{3}\colon {\mathbb {R} }^{3}\to {\mathbb {R} }}$限制在M上

${\displaystyle G=\pi _{3}|_{M}\colon M\to {\mathbb {R} },(\theta ,\phi )\mapsto \sin \theta \,}$

${\displaystyle G=G(\theta ,\phi )=\sin \theta }$是臨界集定義為

${\displaystyle {\rm {grad}}\ G(\theta ,\phi )=\left({{\partial }G \over {\partial }\theta },{{\partial }G \over {\partial }\phi }\right)\!\left(\theta ,\phi \right)=(0,0)}$

的函數，若且唯若${\displaystyle \theta ={\pi \over 2},\ {3\pi \over 2}}$。

${\displaystyle \theta }$這兩個值給出臨界集

${\displaystyle X({\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,1)\,}$

${\displaystyle X({3\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,-1)\,}$

代表環面M上的兩個極值圓。 注意此函數的黑塞矩陣是

${\displaystyle {\rm {hess}}(G)={\begin{bmatrix}-\sin \theta &0\\0&0\end{bmatrix}}}$

這清楚地表明，在標記圓處${\displaystyle {\rm {rank}}({\rm {hess}}(G))=1}$、使臨界點退化；也就是說，這表明臨界點不是孤點。

圓複雜度

模仿LS範疇論，可以定義流形上是否存在圓形函數和/或臨界環的最小數目的圓複雜度。

參考文獻

• Siersma and Khimshiasvili, On minimal round functions, Preprint 1118, Department of Mathematics, Utrecht University, 1999, pp. 18.[1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）. An update at [2]