根值審斂法

根值審斂法（Root test）是判別正項級數斂散性的一種方法，又叫做柯西判別法。方法是分析第${\displaystyle n}$項的絕對值的${\displaystyle n}$次方根的上極限與1的大小關係。

無窮級數
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
無窮級數
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閱 論 編

定理

根值審斂法判斷流程表

設${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$是要判斷審斂性的級數，令

${\displaystyle C={\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }},}$

• 當${\displaystyle \,C<1\,}$時級數絕對收斂（當然同時也收斂）
• 當${\displaystyle \,C>1\,}$或${\displaystyle \,C=\infty \,}$時級數發散
• 當${\displaystyle \,C=1\,}$ 時級數可能收斂也可能發散^[1]。

證明：

當${\displaystyle \,C<1\,}$時，取${\displaystyle \,q\in (C,1)}$，由上極限的定義，${\displaystyle \left\{{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}\right\}\,}$應當有收斂於${\displaystyle \,C\,}$的子列${\displaystyle \,\left\{{\sqrt[{n_{k}}]{\left\vert a_{n_{k}}\right\vert }}\right\}\,}$，由極限的保序性，${\displaystyle \,\exists N\in \mathbb {N} }$，使${\displaystyle \,n>N\,}$時，${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}<q\,}$（否則，總可以取出極限不比${\displaystyle \,q\,}$小的子列，和${\displaystyle \,C\,}$的定義矛盾）。因而，${\displaystyle n>N\,}$時，有${\displaystyle \,\left\vert a_{n}\right\vert <q^{n}\,}$，又因為${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}q^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }q{\frac {1-q^{n}}{1-q}}={\frac {q}{1-q}}\,}$是收斂的，由比較審斂法，${\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert \,}$收斂，即${\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$絕對收斂。 當${\displaystyle \,C>1\,}$或${\displaystyle \,C=\infty \,}$時，取子列${\displaystyle \,\left\{{\sqrt[{n_{k}}]{\left\vert a_{n_{k}}\right\vert }}\right\}\,}$，從而${\displaystyle \,\exists K\in \mathbb {N} \,}$，使得${\displaystyle \,k>K\,}$時，${\displaystyle \,\left\vert a_{n_{k}}\right\vert >{\sqrt[{n_{k}}]{a_{n_{k}}}}>1}$。這意味着${\displaystyle \,\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\neq 0\,}$，根據通項極限判別法，級數${\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$是發散的。 例：${\displaystyle {\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n}}}={\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n^{2}}}}=1\,}$，但${\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,}$發散，而${\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,}$。