簡單函數

簡單函數（英語：simple function）又稱單純函數，是實分析中只取有限個實值的可測函數。

定義

集合 ${\displaystyle \Omega }$ 上有Σ-代數 ${\displaystyle \Sigma }$ ，若對函數 ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ ，存在 ${\displaystyle A_{1},\,A_{2},\cdots ,A_{n}\in \Sigma }$ 和 ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\cdots ,a_{n}\in \mathbb {R} }$，使得：

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x).}$

其中 ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}}$ 代表集合 ${\displaystyle A}$ 的指示函數，即：

${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}x\in A\\0,&{\mbox{if }}x\not \in A\end{matrix}}\right.}$

則 ${\displaystyle f}$ 稱為簡單函數，也就是說，簡單函數是可測集合（即 ${\displaystyle \Sigma }$ 的元素）的指示函數的有限線性組合。

範例

• 半開區間[1,9)上的取整函數，它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。
• 實直線上的狄利克雷函數，如果x是有理數，則函數的值為1，否則為0。

性質

根據定義，兩個簡單函數的和、差與積，以及一個簡單函數與常數的積也是簡單函數，因此可推出所有簡單函數在複數域上形成了一個交換代數。

定理 — 集合 ${\displaystyle \Omega }$ 上有Σ-代數 ${\displaystyle \Sigma }$ ，任何非負，在 ${\displaystyle \Sigma }$ 上可測的 ${\displaystyle f:\Omega \to [0,\,\infty )}$ 都會是某遞增且非負簡單函數序列的逐點極限。更進一步的，若 ${\displaystyle f}$ 是有界的，則此簡單函數序列是一致收斂至${\displaystyle f}$。

證明

對每個正整數 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，把 ${\displaystyle [0,\,\infty )}$ 分成 ${\displaystyle 2^{2n}+1}$個區間，也就是取

${\displaystyle I_{n,k}=\left[k2^{-n},\,(k+1)2^{-n}\right)}$ ，對於 ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,2^{2n}-1}$。

以及

${\displaystyle I_{n,2^{2n}}=[2^{n},\infty )}$

然後定義可測集合

${\displaystyle A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})}$，對於 ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,2^{2n}}$。

則可對每個正整數 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 定義非負簡單函數 ${\displaystyle f_{n}:\Omega \to [0,\,\infty )}$ 如下

${\displaystyle f_{n}(\omega )=\sum _{k=0}^{2^{2n}}{\frac {k}{2^{n}}}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{n,k}}(\omega )}$

也就構成了一個非負遞增簡單函數序列 ${\displaystyle {\{f_{n}\}}_{n\in \mathbb {N} }}$ 。

這樣的話，取任意 ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ， 都存在正整數 ${\displaystyle n_{\omega }\in \mathbb {N} }$ 使得

${\displaystyle 2^{n_{\omega }}>f(\omega )}$

這樣的話，只要 ${\displaystyle n>n_{\omega }}$ 的話，都會存在正整數 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ 使得

${\displaystyle k2^{-n}\leq f(\omega )<(k+1)2^{-n}}$

所以有

${\displaystyle |f(\omega )-f_{n}(\omega )|<2^{-n}}$

再考慮到，對任意正實數 ${\displaystyle \epsilon \in (0,\,\infty )}$ ，都存在正整數 ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ 使得

${\displaystyle 2^{m}\epsilon >1}$

所以總結一下，對任意正實數 ${\displaystyle \epsilon \in (0,\,\infty )}$，取正整數 ${\displaystyle n>\operatorname {max} \{m,\,n_{\omega }\}}$ ，就會有

${\displaystyle |f(\omega )-f_{n}(\omega )|<2^{-n}<\epsilon }$

所以簡單函數序列 ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ 的確會逐點收斂至 ${\displaystyle f}$。

注意到若 ${\displaystyle f}$ 是有界的，那存在一個跟點 ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ 選取無關的正整數 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 使得

${\displaystyle 2^{n}>f(\omega )}$

那這樣的話，對任意正實數 ${\displaystyle \epsilon \in (0,\,\infty )}$，取正整數 ${\displaystyle n^{\prime }>\operatorname {max} \{m,\,n\}}$，就會得到一致收斂。${\displaystyle \Box }$

簡單函數的積分

測度 ${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,\,\infty )}$ 定義在 ${\displaystyle \Omega }$ 的Σ-代數 ${\displaystyle \Sigma }$ 上，若簡單函數 ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ 可表達為

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x)}$

則 ${\displaystyle f}$ 於某個 ${\displaystyle E\in \Sigma }$ 上，對測度 ${\displaystyle \mu }$ 的勒貝格積分定義為：

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu :=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k}\cap E)}$

參考文獻

• J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
• S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
• W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
• H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.