在几何学中,交错八边形镶嵌是一种半正双曲面镶嵌,由三角形和正方形组成,在施莱夫利符号中用{(4,3,3)}或h{8,3}表示。交错八边形镶嵌是指正八边形镶嵌经过交错变换产生的镶嵌图。
几何
虽然每一条边都是直线(曲面上的直线),但由于曲面不易制作或绘制,因此需要投影[注 1],然投影过程扭曲了直线成了曲线,因此要检视其形状可以透过平移[注 2]所需要的点到庞加莱双曲圆盘[注 3]的中心来检视其几何结构[3],此时曲线会接近直线[注 4]。
三角形在中心 双曲面直边 |
边在中心 双曲面直边 |
顶点在中心 双曲面直边 |
表面涂色
不同的表面涂色[注 5]方式可以得到不同的对称性,并代表着不同的几何结构[4],例如:
一种颜色 交错正八边形镶嵌 |
二种颜色 截半交错八边形镶嵌 |
四种颜色 扭棱八阶正方形镶嵌 |
对偶镶嵌
在艺术中
圆极限III中包含了交错八边形镶嵌的结构。圆极限III是一个M. C. Escher在1959年制作的木刻版画作品,鱼串就像从无限远射出来的火箭[注 6],然后又再次降落回他们的出发地[注 7],并与边界垂直[注 8]。图中白色曲线通过每一条鱼的中间,划分成正方形和三角形在交错八边形镶嵌的图案。 然而,在交错八边形镶嵌中,每个曲线都是双曲面上的线段[注 9],而在艾雪的木刻中,曲线是超圆形的弧[5]。
相关多面体及镶嵌
交错八边形镶嵌是一系列交错三阶正多边形镶嵌和多面体的其中之一,该系列只包含偶数边的正多边形,因为只有偶数边形才可进行交错变换,由于交错变换会使边数减半,例如本例正八边形交错变成正方形,所以正七边形不能交错,因为没有正三点五边形。
交错八边形镶嵌可以透过截角操作或其他康威变换得到一系列与之相关的半正镶嵌,其与交错八边形镶嵌拥有相似的对称性[(4,3,3)], (*433)或[(4,3,3)]+, (433):
对称群:[(4,3,3)], (*433) | [(4,3,3)]+, (433) | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
h{8,3} t0{(4,3,3)} {(4,3,3)} |
r{8,3} t0,1{(4,3,3)} r{(3,4,3)} |
h{8,3} t1{(4,3,3)}]] {(3,3,4)} |
h2{8,3} t1,2{(4,3,3)} r{(4,3,3)} |
{3,8} t2{(4,3,3)}] {(3,4,3)} |
h2{8,3} t0,2{(4,3,3)} r{(3,3,4)} |
t{3,8} t0,1,2{(4,3,3)} t{(3,4,3)} |
s{3,8} s{(3,4,3)} | |||
半正对偶 | ||||||||||
V(3.4)3 | V3.8.3.8 | V(3.4)3 | V3.6.4.6 | V(3.3)4 | V3.6.4.6 | V6.6.8 | V3.3.3.3.3.4 |
交错八边形镶嵌也可以从八阶正方形镶嵌以考克斯特结构(4,4,4)透过截角操作或其他康威变换得到的半正镶嵌,由于对应的镶嵌是八阶正方形镶嵌,因此与八阶正方形镶嵌拥有相似的对称性[(4,4,4)], (*444)或[(4,4,4)]+
(444):
对称群:[(4,4,4)], (*444) | [(4,4,4)]+ (444) |
[(1+,4,4,4)] (*4242) |
[(4+,4,4)] (4*22) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
t0{(4,4,4)} | t0,1{(4,4,4)} | t1{(4,4,4)} | t1,2{(4,4,4)} | t2{(4,4,4)} | t0,2{(4,4,4)} | t0,1,2{(4,4,4)} | s{(4,4,4)} | h{(4,4,4)} | hr{(4,4,4)} |
半正对偶 | |||||||||
V(4.4)4 | V4.8.4.8 | V(4.4)4 | V4.8.4.8 | V(4.4)4 | V4.8.4.8 | V8.8.8 | V3.4.3.4.3.4 | V88 | V(4,4)3 |
参见
注释
参考文献
外部链接
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