代数曲线 - Wikiwand
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代数曲线

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代数几何中,一条代数曲线是一维的代数簇。最典型的例子是射影平面上由一个齐次多项式定义的零点。

仿射曲线

定义在上的仿射代数曲线可以看作是中由若干个-元多项式定义的公共零点,使得其维数为一。

利用结式,我们可以将变数消至两个,并化约到与之双有理等价的平面代数曲线,其中,因此在探讨曲线的双有理几何时仅须考虑平面曲线。

射影曲线

射影空间中的曲线可视作仿射曲线的紧化,它们带有更好的几何性质。在以上考虑的方程)中,我们作代换:

遂得到个齐次多项式,它们在射影空间中定义一条曲线,此射影曲线与开集的交集同构于原曲线。射影曲线的例子包括中的费马曲线,其上的有理点对应到费马方程的互素整数解。

代数函数域

代数曲线之研究可化约为不可约代数曲线之研究,后者的范畴在双有理等价之意义下等价于代数函数域范畴。域上的函数域超越次数为一的有限型域扩张,换言之:存在元素使得超越,而且有限扩张

以复数域为例,我们可以定义复系数有理函数。变元对代数关系生成的域是一个椭圆函数域,代数曲线 给出它的一个几何模型。

若基代数封闭域,则函数域无法只由多项式的零点描述,因为此时存在无点的曲线。例如可取实数域并考虑其上的代数曲线,此方程定义了一个的有限扩张,因而定义了一个函数域,然而

代数封闭域上的代数曲线可以用代数簇完整地描述,对于一般的基域或者上的曲线论,概形论能提供较合适的框架。

复代数曲线与黎曼曲面

复射影曲线可以嵌入维复射影空间。复射影曲线在拓扑上为二维的对象,当曲线光滑时,它是个紧黎曼曲面,即一维的紧复流形,因而是可定向的二维紧流形。这时该曲面的拓扑亏格(直观说就是曲面有几个洞或把手)等同于曲线上由代数几何学定义的亏格。视这类曲线为黎曼曲面,则可以采复分析手法加以研究。另一方面,黎曼则证明了任何紧黎曼曲面都同构于一条复射影曲线。

于是我们有三个相互等价的范畴:复数域上的不可约平滑射影曲线、紧黎曼曲面与上的函数域。因此一维复分析(包括位势论)、代数几何论的方法此时能相互为用,这是高等数学里很常见的现象。

[(P=c) end if=0]


[(P=c) end if=0]


奇点

N-1n+1=0


判断方式

曲线在一点的平滑性可以用雅可比矩阵判断。以下考虑嵌于中的曲线:设该曲线由个变元的齐次多项式定义,若其雅可比矩阵在区线上一点满秩,则称它点光滑;反之则称为奇点。在一点的平滑性与多项式的选取无关,也与曲线的嵌入方式无关。

在平面射影曲线的例子,假设曲线由齐次方程式定义,则的奇点恰为上使得为零的点,即:

在特征非零的域上,一条代数曲线仅有有限个奇点;无奇点的曲线即平滑曲线。奇点在双有理映射下可能映为光滑点;事实上,奇点总是可借着平面的拉开映射或正规化解消,由此得到的新平滑曲线仍双有理等价于原曲线;然而对代数封闭域上的射影曲线,其奇点总数则关系到曲线的几何亏格,后者是个双有理不变量。

奇点分类

x3 = y2
x3 = y2

曲线的奇点包括多重点(这是曲线的自交点)及尖点(如仿射曲线之于原点,见右图)等等。一般来说,仿射平面曲线在一点的奇点性质可以透过下述方式理解:

透过平移,不妨假设。将多项式写成

其中齐次多项式。直观地想像,在原点附近的性状仅决定于最低次的非零项,设之为。根据齐次性可以将之分解成

换言之,曲线在原点附近将近似于条(含重复)直线的联集。上式中相异的直线数称作分支数,正整数称作平面曲线在该点的重数,此外还有一个内在的不变量,其中是该曲线的正规化态射。资料[m, δ, r]能够被用来分类奇点。例如一般尖点对应到一般双重点对应到,而一般n重点则对应到

各奇点的不变量δP决定平面曲线的亏格:设,则有

对于在复数域上的平面曲线,John Milnor以拓扑方式定义了不变量μ,称为Milnor数:同样假设,在原点附近够小的四维球内有,此时有连续映射

由于 同伦等价于三维球面,于是可定义μ为此映射的拓扑次数。μ与前述不变量的关系由下式表明:

事实上,在ε够小时是中的一个环圈,称作奇点环圈,它具有复杂的拓扑性质。例如:在尖点附近的奇点环圈是三叶结

曲线的例子

有理曲线

上的有理曲线双有理等价于射影直线的曲线,换言之,其函数域同构于单变元有理函数域。当代数封闭时,这也等价于该曲线之亏格为零,对一般的域则不然;实数域上由给出的函数域亏格为零,而非有理函数域。

具体地说,一条有理曲线是能以有理函数参数化的曲线,例子请见条目有理正规曲线。

任何上有有理点的圆锥曲线都是有理曲线。参数化的过程如下:过给定有理点而斜率为的直线交平面上一条二次曲线于两点,就x坐标来说,交点的x坐标是一个二次多项式的根,其中一个属于的根已知,即的x坐标;因此透过根与系数的关系得知另一根也属于,而且能表作上的有理函数。y坐标的作法相同。

x2 + xy + y2 = 1
x2 + xy + y2 = 1

。考虑斜椭圆,其中是有理点。画一条过该点且斜率为t之直线,并带入E的等式,于是得到:

这就给出E的有理参数化,于是证明了E是有理曲线。

将此结果置于射影几何的框架下,则能导出若干数论的结论。例如我们可在E中加入无穷远点,得到射影曲线

以上参数化遂表为

若取为整数,对应的不定方程的整数解;若将代以,则此方程诠释为θ=60°时的余弦定理,借此能描述所有一角为 60°且边长均为整数的三角形,例如取,就得到边长分别为X=3, Y=8, Z=7的三角形。

椭圆曲线

椭圆曲线可以定义为任意亏格等于一且给定一个有理点的代数曲线,它们都同构于平面上的三次曲线。此时通常取无穷远处的反曲点为给定的有理点,这时该曲线可以写作射影版本的Tate-魏尔施特拉斯形式:

椭圆曲线带有唯一的阿贝尔群结构,使得给定有理点为单位元素,且加法为代数簇的态射,因而椭圆曲线构成一个阿贝尔簇。在三次平面曲线的情形,三点和为零当且仅当它们共线。对于复数域上的椭圆曲线,此阿贝尔簇同构于,其中的由相应的椭圆函数给出。

亏格大于一的曲线

对亏格大于一的曲线,其性质与有理曲线与椭圆曲线有显著不同。根据Faltings定理,定义在数域上的这类曲线只有有限个有理点;若视为黎曼曲面,它们则带有双曲几何的结构。例子包括超椭圆曲线英语Hyperelliptic curve克莱因四次曲线英语Klein quartic与一开始提到的费马曲线英语Fermat curve的情形。

文献

  • Egbert Brieskorn and Horst Knörrer, Plane Algebraic Curves, John Stillwell, trans., Birkhäuser, 1986
  • Claude Chevalley, Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable, American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951
  • Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces, Springer, 1980
  • Phillip A. Griffiths, Introduction to Algebraic Curves, Kuniko Weltin, trans., American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs volume 70, 1985 revision
  • Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977
  • Shigeru Iitaka, Algebraic Geometry: An Introduction to the Birational Geometry of Algebraic Varieties, Springer, 1982
  • John Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces, Princeton University Press, 1968
  • George Salmon, Higher Plane Curves, Third Edition, G. E. Stechert & Co., 1934
  • Jean-Pierre Serre, Algebraic Groups and Class Fields, Springer, 1988
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