巴拿赫代数
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泛函分析中,得名于斯特凡·巴拿赫的巴拿赫代数是实数或复数(或非阿基米德完备赋范域)上的结合代数A,同时也是巴拿赫空间,即在范数导出的度量中完备的赋范空间。范数要满足
这确保了乘法运算连续。
若巴拿赫代数对乘法有范数为1的单位元,则称其是含幺的(unital)。若其乘法是可交换的,则称其可交换。任意巴拿赫代数A(无论有无单位元)都可等距同构地嵌入含幺巴拿赫代数,从而形成的闭理想。通常会先验地假设所考虑的代数是含幺的:因为可以先考虑,再在原始代数中应用结果,来发展许多理论。不过并非总如此,例如无法在巴拿赫代数中定义不含单位元的三角函数。
实巴拿赫代数的理论可能异于复巴拿赫代数,例如非平凡复巴拿赫代数中元素的谱不会是空的,而实巴拿赫代数中,某些元素的谱可能是空的。