交错八边形镶嵌

在几何学中，交错八边形镶嵌是一种半正双曲面镶嵌，由三角形和正方形组成，在施莱夫利符号中用{(4,3,3)}或h{8,3}表示。交错八边形镶嵌是指正八边形镶嵌经过交错变换产生的镶嵌图。

交错八边形镶嵌

庞加莱圆盘模型
类别	双曲半正镶嵌 双曲镶嵌
对偶多面体	Order-4-3-3_t0 dual tiling
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	{(4,3,3)} s{(4,4,4)}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	3 | 3 4
组成与布局
面的种类	三角形 正方形
面的布局 （英语：Face configuration）	V4.8.12
对称性
对称群	[(4,3,3)], (*433) [(4,4,4)]+, (444)
旋转对称群 （英语：Rotation_groups）	[(4,4,4)]+, (444)
特性
点可递
图像
凯莱-克莱因模型 Order-4-3-3_t0 dual tiling （对偶多面体）
查 论 编

交错八边形镶嵌也可以算是一种双曲面上的三角形-正方形镶嵌。

交错八边形镶嵌具有[(4,3,3)], (*433)的对称性，在约翰·康威的轨形符号中以433表示^[1][2]。

几何

虽然每一条边都是直线（曲面上的直线），但由于曲面不易制作或绘制，因此需要投影^{[注 1]}，然投影过程扭曲了直线成了曲线，因此要检视其形状可以透过平移^{[注 2]}所需要的点到庞加莱双曲圆盘^{[注 3]}的中心来检视其几何结构^[3]，此时曲线会接近直线^{[注 4]}。

三角形在中心 双曲面直边

边在中心 双曲面直边

顶点在中心 双曲面直边

表面涂色

不同的表面涂色^{[注 5]}方式可以得到不同的对称性，并代表着不同的几何结构^[4]，例如：

一种颜色 交错正八边形镶嵌	二种颜色 截半交错八边形镶嵌	四种颜色 扭棱八阶正方形镶嵌

对偶镶嵌

在艺术中

主条目：圆极限III

圆极限III中包含了交错八边形镶嵌的结构。圆极限III是一个M. C. Escher在1959年制作的木刻版画作品，鱼串就像从无限远射出来的火箭^{[注 6]}，然后又再次降落回他们的出发地^{[注 7]}，并与边界垂直^{[注 8]}。图中白色曲线通过每一条鱼的中间，划分成正方形和三角形在交错八边形镶嵌的图案。 然而，在交错八边形镶嵌中，每个曲线都是双曲面上的线段^{[注 9]}，而在艾雪的木刻中，曲线是超圆形的弧^[5]。

相关多面体及镶嵌

交错八边形镶嵌是一系列交错三阶正多边形镶嵌和多面体的其中之一，该系列只包含偶数边的正多边形，因为只有偶数边形才可进行交错变换，由于交错变换会使边数减半，例如本例正八边形交错变成正方形，所以正七边形不能交错，因为没有正三点五边形。

交错2n边形镶嵌系列：

	球面镶嵌	多面体	欧式镶嵌	紧凑双曲镶嵌				仿紧空间	非紧空间
n	1	2	3	4	5	6		∞
2n边形镶嵌	{2,3}	{4,3}	{6,3}	{8,3}	{10,3}	{12,3}		{∞,3}	{iπ/λ,3}
交错2n边形镶嵌	h{2,3}	h{4,3}	h{6,3}	h{8,3}	h{10,3}	h{12,3}	...	h{∞,3}	h{iπ/λ,3}

交错八边形镶嵌可以透过截角操作或其他康威变换得到一系列与之相关的半正镶嵌，其与交错八边形镶嵌拥有相似的对称性[(4,3,3)], (*433)或[(4,3,3)]⁺, (433)：

半正 (4,3,3) 镶嵌

对称群：[(4,3,3)], (*433)							[(4,3,3)]+, (433)
h{8,3} t0{(4,3,3)} {(4,3,3)}	r{8,3} t0,1{(4,3,3)} r{(3,4,3)}	h{8,3} t1{(4,3,3)}]] {(3,3,4)}	h2{8,3} t1,2{(4,3,3)} r{(4,3,3)}	{3,8} t2{(4,3,3)}] {(3,4,3)}	h2{8,3} t0,2{(4,3,3)} r{(3,3,4)}	t{3,8} t0,1,2{(4,3,3)} t{(3,4,3)}	s{3,8}   s{(3,4,3)}
半正对偶
V(3.4)3	V3.8.3.8	V(3.4)3	V3.6.4.6	V(3.3)4	V3.6.4.6	V6.6.8	V3.3.3.3.3.4

交错八边形镶嵌也可以从八阶正方形镶嵌以考克斯特结构(4,4,4)透过截角操作或其他康威变换得到的半正镶嵌，由于对应的镶嵌是八阶正方形镶嵌，因此与八阶正方形镶嵌拥有相似的对称性[(4,4,4)], (*444)或[(4,4,4)]⁺
(444)：

半正(4,4,4)镶嵌

对称群：[(4,4,4)], (*444)							[(4,4,4)]+ (444)	[(1+,4,4,4)] (*4242)	[(4+,4,4)] (4*22)
t0{(4,4,4)}	t0,1{(4,4,4)}	t1{(4,4,4)}	t1,2{(4,4,4)}	t2{(4,4,4)}	t0,2{(4,4,4)}	t0,1,2{(4,4,4)}	s{(4,4,4)}	h{(4,4,4)}	hr{(4,4,4)}
半正对偶
V(4.4)4	V4.8.4.8	V(4.4)4	V4.8.4.8	V(4.4)4	V4.8.4.8	V8.8.8	V3.4.3.4.3.4	V88	V(4,4)3

参见

• 圆极限III
• 正方形镶嵌

注释

1. 如同球面的地球的地形要在平面上需要地图投影，而此处使用的庞加莱双曲投影就如同地图投影的方位投影。
2. 此处的平移应视为超平移，即双曲平面上的平移。
3. 可以视为改变投影的点，有如改变地图投影方位投影的投影地点，或是将整个几何图形在双曲平面上平移。
4. 就如同地图投影，投影中心附近几乎不会被扭曲。
5. 表面涂色即在几何体的每一个面上有规律地涂上不同或相同的颜色
6. strings of fish shoot up like rockets from infinitely far away
7. fall back again whence they came
8. the fish move "perpendicularly to the boundary"
9. 因为要将双曲面投影在平面上，所以会使的直线被扭曲成曲线。

参考文献

1. Conway, J. H., The orbifold notation for surface groups, Groups, Combinatorics & Geometry (Durham, 1990), London Math. Soc. Lecture Note Ser. 165, Cambridge: Cambridge Univ. Press: 438–447, 1992, MR 1200280, doi:10.1017/CBO9780511629259.038
2. Paper presented to the 8th International Conference on Geometry, Nahsholim (Israel), March 7–14, 1999.
3. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
4. Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1. (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings)
5. Coxeter, H. S. M., The non-Euclidean symmetry of Escher's picture 'Circle Limit III', Leonardo, 1979, 12: 19–25, JSTOR 1574078.

1. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
2. Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
3. Douglas Dunham Department of Computer Science University of Minnesota, Duluth
4. Examples Based on Circle Limits III and IV （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 2006:More “Circle Limit III” Patterns （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 2007:A “Circle Limit III” Calculation （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 2008:A “Circle Limit III” Backbone Arc Formula （页面存档备份，存于互联网档案馆）

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
• 埃里克·韦斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
• Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch（页面存档备份，存于互联网档案馆）