海伦公式
通过已知三角形三边之长求得三角形面积的公式 / 维基百科,自由的 encyclopedia
海伦公式(英语:Heron's formula或Hero's formula),又译希罗公式[1]、希伦公式。由古希腊数学家亚历山大港的海伦发现,并在其于公元60年所著的《Metrica》中载有数学证明,原理是利用三角形的三条边长求取三角形面积。亦有认为更早的阿基米德已经了解这条公式,因为《Metrica》是一部古代数学知识的结集,该公式的发现时间很有可能先于海伦的著作。[2]
假设有一个三角形,边长分别为,三角形的面积可由以下公式求得:
- ,其中
中国南宋末年数学家秦九韶发现或知道等价的公式,其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何?”答曰:“三百十五顷.”其术文是:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方,得积。”若以大斜记为,中斜记为,小斜记为,秦九韶的方法相当于下面的一般公式:
- ,其中
像其他中国古代的数学家一样,他的方法没有证明。根据现代数学家吴文俊的研究,秦九韶公式可由出入相补原理得出。
由于任何边的多边形都可以分割成个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。