纽结理论 - Wikiwand
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纽结理论

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最简单的三叶结
最简单的三叶结

纽结理论 (英语:Knot theory) 是拓扑学的一个分支,研究纽结的拓扑学特性。

较为复杂的纽结
较为复杂的纽结
用三维模型展示扭结
用三维模型展示扭结

历史

结绳纪事由来远古,但从数学上研究纽结,始于德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯,高斯研究电磁场的性质,认为与纽结有关。1867年凯尔文勋爵认为原子是以太漩涡的纽结,可用不同种类的纽结将原子分类,并用来解释为何原子的吸收光谱呈现不连续的现象。

苏格兰理论物理学家彼德·G·泰特用多年时间研究出纽结分类表,相信他正在创造一个元素表。1887年迈克耳孙-莫雷实验证明“以太”不存在,“以太漩涡论”成为过时理论。十九世纪末叶,产生拓扑学,纽结论再次成为热点研究课题。今日纽结论的应用包括弦理论DNA复制统计力学等领域。

Reidemeister移动

The Reidemeister moves
The Reidemeister moves

1927年,J.W. 亚历山大 和G.B. Briggs,以及 Kurt Reidemeister 独立地提出了如何判定两个结是相同的方法:如果由一个结可以透过几种基本的动作变成另一个结,它们便是相等的。这些运算称为Reidemeister移动

高阶纽结图

一个,只可以在维空间扭成结,而且必定能在维空间解结。(E.C. Zeeman)

纽结连通和

两个结可以“相加”。考虑两个结的平面投影,假设投影不相交。在平面找出一个长方形,使得每个结都有一条线在长方形内,结的边靠近长方形的对边,而且长方形其他部分没有和结相交。将两线剪开,上面的部分和上面的部分连起,下面的和下面的连起。这运算称为连通和

这个在结的运算,形成了一个交换的幺半群,且有素分解:如果一个结K只可以写作K+0=K或0+K=K,K便是素纽结。(0表示没有扭过的结。)

陈-西蒙斯理论和纽结多项式

三维的陈-西蒙斯理论生成很多重要的纽结多项式和纽结不变量:[1]

陈西理论的纽结拓扑不变量
陈西规范群G 纽结多项式或不变量
SO(N) 考夫曼多项式
SU(N) HOMFLY多项式
SU(2)或SO(3) 锺斯多项式(跟括号多项式有关)
U(1) 环绕数

参看

参考文献

  1. ^ Witten, Edward. Quantum field theory and the Jones polynomial. Communications in Mathematical Physics. 1989-09, 121 (3): 351–399. ISSN 0010-3616. doi:10.1007/BF01217730 (英语). 
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