索菲·热尔曼质数 - Wikiwand
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索菲·热尔曼质数

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质数索菲·热尔曼质数,则亦为质数。与索菲·热尔曼质数p相联系之质数则称之为安全素数。举例来说,29为一索菲·热尔曼质数,2×29+1=59则为其对应的安全质数。索菲·热尔曼证明了费马最后定理对于这类质数为真。且若均为整数,在这式子内,必有一项能被整除。

是否存在无限个索菲热尔曼质数仍属猜想。

从1到10000共有190个索菲热尔曼质数(OEIS中的数列A005384):

2 3 5 11 23 29 41 53 83 89 113 131
173 179 191 233 239 251 281 293 359 419 431 443
491 509 593 641 653 659 683 719 743 761 809 911
953 1013 1019 1031 1049 1103 1223 1229 1289 1409 1439 1451
1481 1499 1511 1559 1583 1601 1733 1811 1889 1901 1931 1973
2003 2039 2063 2069 2129 2141 2273 2339 2351 2393 2399 2459
2543 2549 2693 2699 2741 2753 2819 2903 2939 2963 2969 3023
3299 3329 3359 3389 3413 3449 3491 3539 3593 3623 3761 3779
3803 3821 3851 3863 3911 4019 4073 4211 4271 4349 4373 4391
4409 4481 4733 4793 4871 4919 4943 5003 5039 5051 5081 5171
5231 5279 5303 5333 5399 5441 5501 5639 5711 5741 5849 5903
6053 6101 6113 6131 6173 6263 6269 6323 6329 6449 6491 6521
6551 6563 6581 6761 6899 6983 7043 7079 7103 7121 7151 7193
7211 7349 7433 7541 7643 7649 7691 7823 7841 7883 7901 8069
8093 8111 8243 8273 8513 8663 8693 8741 8951 8969 9029 9059
9221 9293 9371 9419 9473 9479 9539 9629 9689 9791

已发现的最大的索菲·热尔曼质数

PrimeGrid计划英语PrimeGrid于2016年3月发现了截至目前为止最大的索菲·热尔曼质数,2618163402417×21290000 − 1,此数共有388342位。[1]

特性

索菲热尔曼质数永不会以7为个位数。证明:

反证法:假设存在个位数为7的质数p,将它表达成p=10k+7。根据索菲热尔曼质数的性质,亦是质数,但能被5整除,而且大于5,所以,是合成数,矛盾。

和梅森数的关系

,且p为索菲热尔曼质数,2p+1是梅森数因数

出现频率

1922年,哈代李特尔伍德,猜测了以下估计索菲热尔曼质数频率的公式:

,C是孪生质数常数

坎宁安链

数列{p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...}的索非热尔曼质数称为第一类坎宁安链。除了首尾之外,这个数列中的项均同时为索非热尔曼质数和安全质数

参考

  1. ^ The Prime Database: 2618163402417×21290000 - 1
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