选择公理Axiom of Choice缩写AC)是数学中的一条集合论公理。这条公理声明,对所有非可索引集合族,总存在一个可索引集合,对每一个,均有。选择公理最早于1904年,由恩斯特·策梅洛为证明良序定理而公式化完成[1]

(Si) 是一个以实数集R指标集集族;也就是说,对每一个实数i,均存在一个集合 Si,如图所示。每一个集合包含至少一个(可能是无限个)元素。选择公理可以断言,我们可以从每一个集合中选择一个元素,组成一个在R上的索引族(xi),这里xi∈SiiR。一般情况下,指标集可以是任意集合I,而不仅仅是R

非正式地,选择公理声明:定一些盒子(可以是),每个盒子中都含有至少一个小球,那么可以作出这样一种选择,使得可从每个盒子中恰好选出一个小球。在很多情况下这样的选择可不借助选择公理;尤其是在“盒子个数有限”和“存在具选择规则”(盒子都恰好只有一个小球具有某特征)这两种情况下。关于“存在具选择规则”可以透以下例子理解:假设有许多(甚至是无限)双鞋子,则我们可以选取每双鞋左边的鞋子构成一个具体的选择,由在鞋子之中“存在具选择规则”(左边的鞋子不同右边的鞋子),故不需要选择公理,仍可做出有效的选择。然而,假设有无限双袜子,且每双袜子都没有可区分的特征,在这种情况下,有效的选择只能通过选择公理得到。

尽管曾具有争议性,选择公理在已被大多数数学家毫无保留地使用着[2],例如带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论(ZFC)。数学家们使用选择公理的原因是,有许多被普遍接受的数学定理,比如是吉洪诺夫定理,都需要选择公理来证明。代的集合论学家也研究与选择公理相矛盾的公理,例如决定公理

在一些造性数学的理避免选择公理的使用,不也有的选择公理包括在

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