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零因子

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抽象代数中,一个的一个非零元素 a 是一个左零因子,当且仅当存在一个非零元素 b,使得 ab=0。类似的,一个非零元素 a 是一个右零因子,当且仅当存在一个非零元素 b,使得 ba=0。左零因子和右零因子通称为零因子(zero divisor)。[1][2][注 1]。在交换环中,左零因子与右零因子是等价的。一个既不是左零因子也不是右零因子的非零元素称为正则的

例子

  • 整数Z 没有零因子,但是在环 Z × Z 中,有(0,n) × (m,0) = (0,0),于是(0,n)和(m,0)都是零因子。
  • 商环 Z/6Z 中,同余类 4,就是 4 + 6Z,是一个零因子,因为 3 × 4 便是同余类 0。
因为
    
  •  更一般地说,在某些域上的 n×n 的矩阵组成的环中,左零因子也就是右零因子(实际上就是所有的非零的奇异矩阵)。在某些整环上的 n×n 的矩阵组成的环中,零因子就是所有行列式为0的非零矩阵。
  • 下面给出一个环中的左零因子和右零因子的例子,它们都不是零因子。
    • S 为所有整数数列的集合,则 SS 的映射,对于数列的加法和映射的复合,成为一个环 End(S),。
    • 考虑以下三个映射:右移映射:R(a1, a2,a3,...) = (0, a1, a2,...), 左移映射:L(a1, a2,a3,... ) = (a2, a3,...),以及只保留首项的映射: T(a1, a2,a3,... ) = (a1, 0, 0, ... )
    • LTTR = 0,所以 L 是一个左零因子,R 是一个右零因子。但是 L 不是右零因子,R 也不是左零因子。因为 LR 便是恒等映射。也就是说,如果有一个映射 f 使得 fL= 0,那么 0=(fL)R = f(LR)= f1 = ff 必然是 0,于是 L 不可能是右零因子。同理,R 也不可能是左零因子。
    • 实际上,我们可以将 SS 的映射看作可数阶数的矩阵,于是左移映射 L 就可以表示为:
  • 同理 R 则是 L 的转置矩阵(同时也是 L 的逆矩阵)。可以看出这个例子在有限阶矩阵中是无法构造的。

性质

  • 左零因子或右零因子不可能是可逆元
  • 任意的非零的等幂元 a ≠ 1 都是零因子,因为由 a2 = a 可推出 a(a − 1) = (a − 1)a = 0。此外,幂零元是当然的零因子。
  • 一个非退化的交换环(0 ≠ 1)若没有零因子,则是一个整环
  • 商环 Z/nZ 包含零因子,当且仅当 n合数。如果 n素数Z/nZ 是一个域,因而没有零因子,因为每个非零元素都是可逆的。
  • 在Cayley-Dickson构造下的十六元数中,也包含了零因子。

参见

注释

  1. ^ 也有作者将既是左零因子又是右零因子的元素称为零因子。[3][4]

参考资料

  1. ^ 张贤科、许甫华. 高等代数学. 清华大学出版社. 2004: 10 [2014-12-28]. ISBN 9787302082279. (原始内容存档于2020-02-04). 
  2. ^ Jeffrey Bergen. A Concrete Approach to Abstract Algebra: From the Integers to the Insolvability of the Quintic. Academic Press. 2009: 234 [2014-12-28]. ISBN 9780080958620. (原始内容存档于2020-02-04). 
  3. ^ 俞正光、李永乐、吕志. 理工科代数基础. 清华大学出版社. 1998: 309 [2014-12-28]. ISBN 9787302029779. (原始内容存档于2020-02-04). 
  4. ^ 王礼萍. 离散数学简明教程. 清华大学出版社. 2005: 87 [2014-12-28]. ISBN 9787302112297. (原始内容存档于2020-02-04). 
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