庞特里亚金对偶性
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数学中,特别是在调和分析与拓扑群的理论中,庞特里雅金对偶定理是局部紧阿贝尔群之间的对偶,解释了傅里叶变换的一般性质。它统合了实数线上或有限阿贝尔群上的一些结果,如:
- 实数线上够“好”的复数值周期函数能表成傅里叶级数,反之也能从傅里叶级数推出原函数。
- 实数线上够“好”的复数值函数有傅里叶变换;一如周期函数,在此也能从其傅里叶变换反推出原函数。
- 有限阿贝尔群上的复数值函数有离散傅里叶变换,这是在对偶群上的函数。此外,也从离散傅里叶变换反推原函数。
局部紧阿贝尔群如圆群(模1复数的乘法群)、有限阿贝尔群(具有离散拓扑)、整数的加法群(具有离散拓扑)、实数,以及在实数或P进数域上的有限维向量空间。庞特里亚金对偶将傅立叶变换推广到所有此类群。局部紧阿贝尔群的庞特里亚金对偶是局部紧阿贝尔拓扑群,由群到圆群的连续群同态形成,具有点乘与紧集上一致收敛的拓扑。庞特里亚金对偶定理指出任何局部紧阿贝尔群与其二阶对偶群自然同构,傅里叶变换是定理的特例。
此理论由庞特里亚金(Lev Pontryagin)首开,并结合了约翰·冯·诺伊曼与安德烈·韦伊的哈尔测度理论,它依赖于局部紧阿贝尔群的对偶群理论。