约翰逊多面体
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约翰逊多面体,又译詹森多面体或庄逊多面体,是指每个面都是正多边形的严格凸多面体(凸正多边形多面体)。其不要求每个面皆要是相同的多边形,也不要求每个顶角要相等。约翰逊多面体的一个例子是正四角锥(J1),其由4个正三角形和1个正方形组成。一些作者会将约翰逊多面体定义为正多面体、半正多面体、均匀多面体、棱柱、反棱柱之外,所有由正多边形面组成的凸多面体。这些立体由诺曼·约翰逊(英语:Norman Johnson (mathematician))在1966年命名;1969年,维克托·查加勒(英语:Victor Zalgaller)证明只有92个这样的立体。
部分的约翰逊多面体 | |
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正五角丸塔 (丸塔) |
正五角台塔柱 (组合立体) |
正二十面体欠邻二侧锥(英语:Metabidiminished icosahedron) (切割立体) |
球状屋顶 (基本立体) |
在任何严格凸多面体中,每个顶点至少要是三个面的公共顶点,而且这些面的角度总和要小于360度。由于正多边形的角度至少为60度,因此每个顶点最多只能是5个面的公共顶点。正五角锥(J2)就是一个包含了有五个面的公共顶点之顶点的一个例子。
虽然没有明确限制组成约翰逊多面体之多边形面的边数,但事实证明,所有非正多面体、半正多面体、均匀多面体、棱柱、反棱柱的约翰逊多面体的面都是由三、 四、 五、 六、 八或十边形组成。
1966年,诺曼·约翰逊(英语:Norman Johnson (mathematician))给出了一个约翰逊多面体的清单,里面包含了92种约翰逊多面体(不包括5个帕雷托立体、13个阿基米德立体、无限多的柱状均匀多面体,即棱柱和反棱柱)并给予了名称和编号。[1]他并没有证明这些立体仅有92个,但他确实猜想不存在其他这种性质的立体。维克托·查加勒(英语:Victor Zalgaller)在1969年证明诺曼·约翰逊所列出的92种约翰逊多面体是完整的,不存在其他有此性质的立体。
在约翰逊多面体中异相双四角台塔柱又称为伪小斜方截半立方体[2],是唯一一个具有局部等角的特性,其所有顶点都是3个正方形和1个三角形的公共顶点。然而其不完全具备点可递的特性,也就是存在有一组顶点无法透过将立体旋转、平移或镜射等几何变换将顶点变换到另外一个顶点,或者说其顶点并没有全部位于同一个对称性的轨道内,因此其只能算是约翰逊多面体无法归类在阿基米德立体。[4]