庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵

在粒子物理学中，庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵（英语：Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata Matrix，简称PMNS矩阵），又称牧-中川-坂田矩阵（MNS矩阵）、轻子混合矩阵或中微子混合矩阵，是一个幺正矩阵^{[注 1]}，内含自由转播中与弱相互作用中的轻子间量子态的相异之处，因此是研究中微子振荡的重要工具。此矩阵最早由牧二郎（日语：牧二郎）、中川昌美（日语：中川昌美）与坂田昌一于1962年提出^[1]，用于解释布鲁诺·庞蒂科夫所预测的中微子振荡现象^[2][3]。

矩阵

三代轻子的混合矩阵如下：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\nu _{e}}\\{\nu _{\mu }}\\{\nu _{\tau }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}U_{e1}&U_{e2}&U_{e3}\\U_{\mu 1}&U_{\mu 2}&U_{\mu 3}\\U_{\tau 1}&U_{\tau 2}&U_{\tau 3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\nu _{1}\\\nu _{2}\\\nu _{3}\end{bmatrix}}\ }$。

其中左边的是参与弱相互作用的中微子场，而右边的是PMNS矩阵，还有一个由中微子场本征态组成的矢量，将中微子质量矩阵对角化后可得这个矢量。PMNS矩阵描述某种味 ${\displaystyle \alpha }$ 进入质量本征态 ${\displaystyle i}$ 的概率。这些概率与 ${\displaystyle |U_{\alpha i}|^{2}}$ 成正比。

这个矩阵有好几种不同的参数化^[4]，但是由于中微子探测的难度，各参数的测量要比这个矩阵的夸克对应版本（CKM矩阵）要难得多。这个矩阵最常见的参数组为三个混合角（英语：Mixing angle）（即 ${\displaystyle \theta _{12}}$、${\displaystyle \theta _{23}}$ 及 ${\displaystyle \theta _{13}}$）与一个相位${\displaystyle \delta }$。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}U_{e1}&U_{e2}&U_{e3}\\U_{\mu 1}&U_{\mu 2}&U_{\mu 3}\\U_{\tau 1}&U_{\tau 2}&U_{\tau 3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta _{12}\cos \theta _{13}&\sin \theta _{12}\cos \theta _{13}&\sin \theta _{13}e^{-i\delta }\\-\sin \theta _{12}\cos \theta _{23}-\cos \theta _{12}\sin \theta _{23}\sin \theta _{13}e^{i\delta }&\cos \theta _{12}\cos \theta _{23}-\sin \theta _{12}\sin \theta _{23}\sin \theta _{13}e^{i\delta }&\sin \theta _{23}\cos \theta _{13}\\\sin \theta _{12}\sin \theta _{23}-\cos \theta _{12}\cos \theta _{23}\sin \theta _{13}e^{i\delta }&-\cos \theta _{12}\sin \theta _{23}-\sin \theta _{12}\cos \theta _{23}\sin \theta _{13}e^{i\delta }&\cos \theta _{23}\cos \theta _{13}\end{bmatrix}}}$。

参数数值

截至2021年10月，利用直接与间接测量给出正常质量排序下最佳拟合参数如下：^[5][6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{12}&={33.44^{\circ }}_{-0.74^{\circ }}^{+0.77^{\circ }}\\\theta _{23}&={49.2^{\circ }}_{-1.3^{\circ }}^{+1.0^{\circ }}\\\theta _{13}&={8.57^{\circ }}_{-0.12^{\circ }}^{+0.13^{\circ }}\\\delta _{\textrm {CP}}&={194^{\circ }}_{-25^{\circ }}^{+52^{\circ }}\\\end{aligned}}}$

截至2021年10月，矩阵元素量值的 3 σ 范围 （99.7% 信心水准）如下：^[7]

${\displaystyle |U|={\begin{bmatrix}~|U_{e1}|~&|U_{e2}|~&|U_{e3}|\\~|U_{\mu 1}|~&|U_{\mu 2}|~&|U_{\mu 3}|\\~|U_{\tau 1}|~&|U_{\tau 2}|~&|U_{\tau 3}|~\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{rrr}~0.801\,\ldots \,0.845~&0.513\,\ldots \,0.579~&0.143\,\ldots \,0.156\\~0.232\,\ldots \,0.507~&0.459\,\ldots \,0.694~&0.629\,\ldots \,0.779\\~0.260\,\ldots \,0.526~&0.470\,\ldots \,0.702~&0.609\,\ldots \,0.763~\end{array}}\right]}$

另见

• 中微子振荡
• CKM矩阵

注释

1. 在翘翘板模型中，PMNS矩阵并不是幺正矩阵。

参考资料

1. Z. Maki, M. Nakagawa, and S. Sakata. Remarks on the Unified Model of Elementary Particles. Progress of Theoretical Physics. 1962, 28: 870. Bibcode:1962PThPh..28..870M. doi:10.1143/PTP.28.870.
2. B. Pontecorvo. Mesonium and anti-mesonium. Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1957, 33: 549–551. 英语译本见Sov. Phys. JETP. 1957, 6: 429. 缺少或|title=为空 (帮助)
3. B. Pontecorvo. Neutrino Experiments and the Problem of Conservation of Leptonic Charge. Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1967, 53: 1717. 英语译本见Sov. Phys. JETP. 1968, 26: 984. Bibcode:1968JETP...26..984P. 缺少或|title=为空 (帮助)
4. J.W.F. Valle. Neutrino physics overview. Journal of Physics: Conference Series. 2006, 53: 473. arXiv:hep-ph/0608101 . doi:10.1088/1742-6596/53/1/031.
5. Esteban, Ivan; Gonzalez Garcia, Concha; Maltoni, Michele; Schwetz, Thomas; Albert, Zhou. Parameter ranges. NuFIT.org. Three-neutrino fit NuFIT 5.1. October 2021 [2022-02-19]. （原始内容存档于2022-08-16）.
6. NuFIT.org. [2022-03-22]. （原始内容存档于2022-09-24）.
7. Esteban, Ivan; Gonzalez Garcia, Concha; Maltoni, Michele; Schwetz, Thomas; Albert, Zhou. Leptonic mixing matrix. NuFIT.org. Three-neutrino fit NuFIT 5.1. October 2021 [2022-02-19]. （原始内容存档于2023-07-12）.