梅森素数与完全数集合

梅森素数与完全数是数论里关系密切的自然数。梅森素数以数学家、神学家、修士马兰·梅森命名，是能以2^甲－1表示、且甲为正整数的素数，如梅森素数3就能写成2²－1^[1][2]。梅森素数在上述表达式对应的数甲一定是素数，但甲是素数不代表得出的结果就是梅森素数，如2¹¹－1＝2047＝23×89^[3]。完全数是等于真因数之和的自然数，真因数即自然数除自身外的因数。如6就是完全数，因数分别是1、2、3、6且1＋2＋3＝6。^[2][4]

6是完全数

20世纪下半叶起已知最大素数位数对数图，这些已知最大素数大多是梅森素数

根据欧几里得部分证明、莱昂哈德·欧拉完全证明的欧几里得－欧拉定理可知梅森素数与已知完全数一一对应：只有能换算成公式2^甲－1×（2^甲－1），且2^甲 − 1是梅森素数的偶数是完全数。以甲＝2为例，2²－1＝3为素数，2^2－1×（2²－1）＝2×3＝6为完全数。^[1][5][6]

梅森素数与完全数是否无穷尽目前还是未解决的数学问题^[2][6]，伦斯特拉－波默朗斯－瓦格斯塔夫猜想的主题便是梅森素数频率，推断比x小的梅森素数期望个数为（e^γ/log2）×log log x，其中e是欧拉数，γ是欧拉常数，log是自然对数^[7][8][9]。已经发现的完全数都是偶数，但尚未排除存在奇数完全数的可能。已证明奇完全数必满足某些条件，如不小于10^1500[10]。

下表列出所有已知梅森素数、完全数及对应指数甲。截至2021年10月共发现51个梅森素数（及对应完全数），最大17个均由互联网梅森素数大搜索分布式计算项目发现。^[2]新梅森素数是用卢卡斯－莱默检验法发现，这种梅森素数素性测试可用于二进制计算机^[2]。

数字按从小到大排列，如果新发现比现有结果小的梅森素数则插入中间。序号后面的问号说明尚待验证。截至2021年10月，互联网梅森素数大搜索已经计算至甲＝5820万4879，即第48个梅森素数以前的所有自然数均已验证。^[11]发现时间和发现人均指梅森素数，完全数按欧几里得－欧拉定理计算。发现人列为“互联网梅森素数大搜索：姓名”说明此人拥有的设备采用互联网梅森素数大搜索找到该数。除前八个不超过十位外，后面的结果都非常长，最长的已有数千万位；下表仅列出前后各六位，中间以省略号表示。

梅森素数与完全数集合

  GIMPS发现的梅森素数

  最小未验证梅森素数

  梅森猜测的梅森素数

  古代知道的梅森素数

  拉尔夫·欧内斯特·鲍尔斯发现的梅森素数

  唐纳德·吉利斯发现的梅森素数

  大卫·斯洛文斯基发现的梅森素数

下表列出了所有已知的梅森素数： A000668

下表列出了所有已知的梅森素数指数： A000043

序	甲	梅森素数	梅森素数位数	对应完全数	完全数位数	发现时间	发现人	发现方法	参考[12]
1	2	3	1	6	1	000000000100-01-01-0000古代[注 1]	古希腊数学家已经知晓	人手计算	[13][14][15]
2	3	7	1	28	2				[13][14][15]
3	5	31	2	496	3				[13][14][15]
4	7	127	3	8128	4				[13][14][15]
5	13	8191	4	33550336	8	000000001456-01-01-0000约1456年[注 2]	不明[注 3]	试除法	[14][15]
6	17	131071	6	8589869056	10	000000001588-01-01-00001588年[注 2]	皮特罗·卡塔尔迪		[2][18]
7	19	524287	6	137438691328	12				[2][18]
8	31	21亿4748万3647	10	230584……952128	19	000000001772-01-01-00001772年	莱昂哈德·欧拉		[19]
9	61	230京5843兆0092亿1369万3951	19	265845……842176	37	1883年11月	伊万·波佛辛	卢卡斯数列	[20]
10	89	618970……562111	27	191561……169216	54	1911年6月	拉尔夫·欧内斯特·鲍尔斯	卢卡斯数列	[21]
11	107	162259……288127	33	131640……728128	65	1914年6月			[22]
12	127	170141183460469231731687303715884105727	39	144740……152128	77	1876年1月	爱德华·卢卡斯	卢卡斯数列	[23]
13	521	686479……057151	157	235627……646976	314	1952年1月	拉斐尔·米切尔·罗宾逊	计算机采用卢卡斯－莱默检验法	[24]
14	607	531137……728127	183	141053……328128	366				[24]
15	1279	104079……729087	386	541625……291328	770	1952年6月			[25]
16	2203	147597……771007	664	108925……782528	1327	1952年10月			[26]
17	2281	446087……836351	687	994970……915776	1373				[26]
18	3217	259117……315071	969	335708……525056	1937	1957年9月	汉斯·黎瑟尔		[27]
19	4253	190797……484991	1281	182017……377536	2561	1961年11月	亚历山大·赫维茨		[28]
20	4423	285542……580607	1332	407672……534528	2663				[28]
21	9689	478220……754111	2917	114347……577216	5834	1963年5月	唐纳德·吉利斯	计算机采用卢卡斯－莱默检验法	[29]
22	9941	346088……463551	2993	598885……496576	5985				[29]
23	11213	281411……392191	3376	395961……086336	6751	1963年6月			[29]
24	19937	431542……041471	6002	931144……942656	12003	1971年3月	计算机采用卢卡斯－莱默检验法	布莱恩特·塔克曼	[30]
25	21701	448679……882751	6533	100656……605376	13066	1978年10月		蓝登·克特·诺尔、劳拉·尼克尔	[31]
26	23209	402874……264511	6987	811537……666816	13973	1979年2月		蓝登·克特·诺尔	[31]
27	44497	854509……228671	13395	365093……827456	26790	1979年4月	计算机采用卢卡斯－莱默检验法	哈里·尼尔森、大卫·斯洛文斯基	[32][33]
28	86243	536927……438207	25962	144145……406528	51924	1982年9月		大卫·斯洛文斯基	[34]
29	11万0503	521928……515007	33265	136204……862528	66530	1988年1月	计算机采用卢卡斯－莱默检验法	沃尔特·科尔奎特、卢克·韦尔什	[35][36]
30	13万2049	512740……061311	39751	131451……550016	79502	1983年9月	计算机采用卢卡斯－莱默检验法	大卫·斯洛文斯基等人（克雷公司）	[37]
31	21万6091	746093……528447	65050	278327……880128	13万0100	1985年9月			[38][39]
32	75万6839	174135……677887	22万7832	151616……731328	45万5663	1992年2月			[40]
33	85万9433	129498……142591	25万8716	838488……167936	51万7430	1994年1月			[41]
34	125万7787	412245……366527	37万8632	849732……704128	75万7263	1996年9月			[42][43]
35	139万8269	814717……315711	42万0921	331882……375616	84万1842	1996年11月	计算机采用卢卡斯－莱默检验法	互联网梅森素数大搜索：乔尔·阿蒙古德	[44]
36	297万6221	623340……201151	89万5932	194276……462976	179万1864	1997年8月		互联网梅森素数大搜索：戈登·斯彭斯	[45]
37	302万1377	127411……694271	90万9526	811686……457856	181万9050	1998年1月		互联网梅森素数大搜索：罗兰·克拉克森	[46]
38	697万2593	437075……193791	209万8960	955176……572736	419万7919	1999年6月		互联网梅森素数大搜索：纳扬·哈吉拉特瓦拉	[47]
39	1346万6917	924947……259071	405万3946	427764……021056	810万7892	2001年11月		互联网梅森素数大搜索：迈克尔·卡梅隆	[48]
40	2099万6011	125976……682047	632万0430	793508……896128	1264万0858	2003年11月		互联网梅森素数大搜索：迈克尔·谢弗	[49]
41	2403万6583	299410……969407	723万5733	448233……950528	1447万1465	2004年5月		互联网梅森素数大搜索：乔希·芬德利	[50]
42	2596万4951	122164……077247	781万6230	746209……088128	1563万2458	2005年2月		互联网梅森素数大搜索：马丁·诺瓦克	[51]
43	3040万2457	315416……943871	915万2052	497437……704256	1830万4103	2005年12月		互联网梅森素数大搜索：柯蒂斯·库珀、史蒂文·布恩	[52]
44	3258万2657	124575……967871	980万8358	775946……120256	1961万6714	2006年9月			[53]
45	3715万6667	202254……220927	1118万5272	204534……480128	2237万0543	2008年9月		互联网梅森素数大搜索：汉斯－迈克尔·埃尔维尼奇	[54]
46	4264万3801	169873……314751	1283万7064	144285……253376	2567万4127	2009年6月		互联网梅森素数大搜索：奥德·麦格纳·斯特林莫	[55]
47	43112609	316470……152511	1297万8189	500767……378816	2595万6377	2008年8月		互联网梅森素数大搜索：埃德森·史密斯	[54][56]
48	5788万5161	581887……285951	1742万5170	169296……130176	3485万0340	2013年1月		互联网梅森素数大搜索：柯蒂斯·库珀	[57][58]
不适用	6868万9253	最低未验证里程碑（截至公元2024年6月23日）[注 4]
49？	7420万7281	300376……436351	2233万8618	451129……315776	4467万7235	2016年1月	互联网梅森素数大搜索：柯蒂斯·库珀	计算机采用卢卡斯－莱默检验法	[59][60]
50？	7723万2917	467333……179071	2324万9425	109200……301056	4649万8850	2017年12月	互联网梅森素数大搜索：乔纳森·佩斯		[61][62]
51？	8258万9933	148894……902591	2486万2048	110847……207936	4972万4095	000000002018-12-01-00002018年12月	互联网梅森素数大搜索：帕特里克·拉罗什		[63][64]
不适用	1亿1748万5899	最低未测试里程碑（截至公元2024年6月23日）[注 4]