设 $n$ 为一自然数。定义基数 $b>1$ 的 水仙花函数 $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ 如下：

F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}^{k}.

其中 $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ 为数字在基数 $b$ 下的位数，

d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}

表示数字的各位数值。若自然数 $n$ 为 $F_{b}$ 的不动点，即 $F_{b}(n)=n$ ，则称 $n$ 为 水仙花数。范围 $0\leq n<b$ 的自然数为 平凡水仙花数，其他水仙花数则为 非平凡水仙花数。

举例，数字 153 在基数 $b=10$ 下是水仙花数，因为 $k=3$ 且 $153=1^{3}+5^{3}+3^{3}$ 。

若自然数 $F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}^{k}.$ 为 $F_{b}$ 的周期点，且存在正整数 $p$ 使 $F_{b}^{p}(n)=n$ （其中 $F_{b}^{p}$ 为 $F_{b}$ 的第 $p$ 次迭代），则称 $n$ 为 社交性水仙花数，其形成的序列周期为 $p$ 。

当 $p=1$ 时，社交性水仙花数即为普通水仙花数。
当 $p=2$ 时，称为 友好水仙花数。

所有自然数 $n$ 不论基数大小都是 $F_{b}$ 的前周期点。理由如下：

对给定位数 $k$ ，最小可能值为 $b^{k-1}$ ，最大可能值为 $b^{k}-1\leq b^{k}$ 。
水仙花函数的值为 $F_{b}(n)=k(b-1)^{k}$ 。

因此，水仙花数必须满足不等式： $b^{k-1}\leq k(b-1)^{k}\leq b^{k}$ 。两边同时乘以 ${\frac {b}{(b-1)^{k}}}$ 得： ${\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}\leq bk\leq b{\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}$ ，等价于 $k\leq {\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}\leq bk$ 。

由于 ${\frac {b}{b-1}}\geq 1$ ，存在一个最大位数 $k$ 使 ${\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}\leq bk$ 。超过此位数时，必然 $F_{b}(n)\leq n$ 。因此，水仙花数是有限个，自然数一定会收敛到小于 $b^{k}-1$ 的周期点或不动点，成为前周期点。以 $b=10$ 为例，最大水仙花数小于 $10^{60}$ 。^[1]

数字 $n$ 经过多少次迭代 $i$ 才能到达不动点，即为水仙花函数的持久性，若永不达到不动点则未定义。

基数 $b$ 至少存在一个两位数水仙花数 if and only if $b^{2}+1$ 非质数，且两位数水仙花数的数量为 $\tau (b^{2}+1)-2$ ，其中 $\tau (n)$ 为正整数 n 的因数个数。

每个基数 $b\geq 3$ 且非九的倍数，都至少有一个三位数水仙花数。不存在三位数水仙花数的基数为：

2, 72, 90, 108, 153, 270, 423, 450, 531, 558, 630, 648, 738, 1044, 1098, 1125, 1224, 1242, 1287, 1440, 1503, 1566, 1611, 1620, 1800, 1935, ... （OEIS数列A248970）

10 进位中共有 88 个水仙花数，其中最大者为：

115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401

共 39 位数。^[1]

水仙花数的定义

定义

部分水仙花数

十进制下的水仙花数

十二进制下的水仙花数

参考资料