封闭形式

在数学上，若一个函数的表达式可以写成常数、变量和基本函数及其之间的基本运算（加减乘除和整数幂）和这些函数的复合，则称此种表达式为封闭形式（Closed-form）。一般会允许n次方根、指数函数、对数以及三角函数等作为基本函数，出现在封闭形式中^{[注 1]}；但何谓基本函数，可能取决于情境。

封闭形式的问题在极限、级数和积分等指名数学对象的新方式出现也随之出现：给定一个对象和工具，一个自然的问题是在可能的状况下找到这对象的封闭形式，也就是说，找到一个以前述的方式表述这对象的方法。

例子

一元二次方程式的公式解

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

是一般的一元二次方程式${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$的解的封闭形式。

更一般地，就多项式方程式而言，解的封闭形式是根式解（英语：solution in radicals），也就是说，这样的解的封闭形式必须是n次方根、常数及其四则运算${\displaystyle (+,-,\times ,/).}$所组成。

一元三次方程式和一元四次方程式也有根式解，但根式解的大小随着次方增加而显著增加；就更高次数而言，阿贝尔-鲁菲尼定理指出存在有其解不能表达成根式解，因此没有封闭形式的方程式。一个没有封闭形式的方程式的简单例子是${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$。伽罗瓦理论提供了一个算法来决定一个多项式是否有根式解。

符号积分

符号积分基本包括了查找以封闭形式表达的函数反微分。在这层意义下，用以定义封闭形式的基本函数包括了多项式、指数函数以及对数等。对这些基本函数有封闭形式的函数又称初等函数，且包括了三角函数、反三角函数、双曲函数及反双曲函数。

因此符号积分的基本问题就是，若给定一个以封闭形式表达的初等函数，那其反微分是否是初等函数？且如果是的话，要如何找到其反微分的封闭形式？

对于两个多项式相除所得的有理函数，其反微分并非总是有理函数，但其总是涉及多项式和对数的初等函数。这点一般可用部分分式分解来证明。对数和多项式根的必要性，可由下列方程式表明：

${\displaystyle \int {\frac {f(x)}{g(x)}}\,dx=\sum _{\alpha \in \operatorname {Roots} (g(x))}{\frac {f(\alpha )}{g'(\alpha )}}\ln(x-\alpha ),}$

在${\displaystyle f}$及${\displaystyle g}$为彼此互素的多项式（英语：polynomial greatest common divisor）、${\displaystyle g}$无平方因子（英语：square-free polynomial）且${\displaystyle \deg f<\deg g.}$的情况下，这方程式成立。

解析解

解析解，又称为公式解（英语：Analytic expression），是可以用解析表达式来表达的解。在数学上，如果一个方程或者方程组存在的某些解，是由有限次常见运算的组合给出的形式，则称该方程存在解析解。二次方程的根就是一个解析解的典型例子。在低年级数学的教学当中，解析解也被称为公式解。

当解析解不存在时，比如五次以及更高次的代数方程，则该方程只能用数值分析的方法求解近似值。大多数偏微分方程，尤其是非线性偏微分方程，都只有数值解。

解析表达式的准确含义依赖于何种运算称为常见运算或常见函数。传统上，只有初等函数被看作常见函数^{[注 2]}，无穷级数、序列的极限、连分数等都不被看作常见函数。按这种定义，许多累积分布函数无法写成解析表达式。但如果把特殊函数，比如误差函数或gamma函数也看作常见函数，则累积分布函数可以写成解析表达式。

在电脑应用中，这些特殊函数因为大多有现成的数值法实现，它们通常被看作常见运算或常见函数。实际上，在电脑的计算过程中，多数基本函数都是用数值法计算的，所以所谓的基本函数和特殊函数对电脑而言并无区别。

不同类表达式之间的比较

封闭形式是解析形式的重要子类，而解析形式包含数个广为人知的函数的有限次应用。和更加广泛的解析形式不同的是，封闭形式不包含无穷级数或连分数，也不包含极限或积分。事实上，根据魏尔施特拉斯逼近定理，任何在区间上的连续函数都可表示成多项式的极限，因此任何包含多项式以及在极限意义下封闭的函数类，都必然包含所有的连续函数。

类似地，若说一个方程式或方程组有封闭解，当且仅当这方程式或方程组至少有一个解可以表达成封闭形式；而说一个方程式或方程组有解析解，当且仅当这方程或方程组至少有一个解可以表达成解析形式。封闭形式和封闭数之间，有着微妙的差异，这点可见下文说明以及(Chow 1999)。有时又将封闭或解析解给称为显解（explicit solution）。

查 论 编	算术表达式	多项式	代数式	封闭形式	解析式	数学表达式
常数	是	是	是	是	是	是
四则运算	是	只包含加减乘	是	是	是	是
加总	是	是	是	是	是	是
连乘积	是	是	是	是	是	是
有限连分数	是	否	是	是	是	是
变量	否	是	是	是	是	是
整数幂	否	是	是	是	是	是
n次方根	否	否	是	是	是	是
有理数幂	否	否	是	是	是	是
阶乘	否	否	是	是	是	是
无理数幂	否	否	否	是	是	是
指数函数	否	否	否	是	是	是
对数	否	否	否	是	是	是
三角函数	否	否	否	是	是	是
反三角函数	否	否	否	是	是	是
双曲函数	否	否	否	是	是	是
反双曲函数	否	否	否	是	是	是
非根式解（英语：solution in radicals）的多项式的解	否	否	否	否	是	是
Γ函数及非整数的阶乘	否	否	否	否	是	是
贝塞尔函数	否	否	否	否	是	是
特殊函数	否	否	否	否	是	是
无穷和（包括幂级数）	否	否	否	否	仅在收敛时成立	是
无穷乘积	否	否	否	否	仅在收敛时成立	是
无穷连分数	否	否	否	否	仅在收敛时成立	是
极限	否	否	否	否	否	是
微分	否	否	否	否	否	是
积分	否	否	否	否	否	是

处理非封闭形式

转变成封闭形式

现在考虑以下表达式：

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2^{n}}}}$

这表达式不是封闭形式，而这是因为这表达式是无限多个基本运算的总和之故；然而，运用几何级数，可将此表达式变为如下的封闭形式：^[1]

${\displaystyle f(x)=2x}$

微分伽罗瓦理论

主条目：微分伽罗瓦理论

一个封闭形式的积分可能可以也可能不能表达成封闭形式，作为和代数伽罗瓦理论的对应，对这方面的研究又称微分伽罗瓦理论。

微分伽罗瓦理论的基本定理最初由约瑟夫·刘维尔于1830至40年代发展出来，因此被称作刘维尔定理。

一个反微分不能表达成封闭形式的初等函数的例子：

${\displaystyle e^{-x^{2}},}$

这函数的反微分即所谓的误差函数，其形式如次：

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}$

数学建模和电脑模拟

太过复杂而不能表达成封闭形式的方程式或方程组常可借由数学模型和电脑模拟等方式进行芳心，像在物理中就常碰到这样的问题。^{[注 3]}

封闭数

参见：超越数论

一些看法认为，复数${\displaystyle \mathbb {C} }$的子域包括了所谓的封闭数（closed-form number）的概念。以一般程度递增排列，其中有刘式数（Liouvillian numbers，和有理逼近中的刘维尔数不同）、EL数和基本数（英语：elementary number）等等。

刘式数，记做${\displaystyle \mathrm {L} }$，其所表示的是在指数和对数之下，${\displaystyle \mathbb {C} }$最小的代数封闭子域。（正式地，所有这样的子域的交集）也就是说，一类明确涉及指数和对数，但可明确或隐含涉及多项式的数。 (Ritt 1948，p. 60)${\displaystyle \mathrm {L} }$这符号一开始用以指称基本数，但现在这名词被用以指称一类更广泛的、明确或隐含以代数运算、指数和对数定义的数。

一个指涉范围更狭隘的定义是EL数，记做${\displaystyle \mathrm {E} }$，其所表示的是在指数和对数下，${\displaystyle \mathbb {C} }$最小的封闭子域，而不一定要是代数封闭的，而这基本就包含了所有明确以代数运算、指数和对数定义的数。(Chow 1999，pp. 441–442)EL代表英语的“exponential–logarithmic”，也同时是“elementary”的简称。一个数是否能以封闭形式表达，和这个数是否是超越数有关。

正式地，刘式数和基本数包含代数数，并包含部分但并非所有的超越数；相反地，EL数不包含所有的代数数，但包含部分的超越数。封闭数可透过超越数论进行研究，其中主要的结果有格尔丰德-施奈德定理等，而主要的开放问题有沙努尔猜想（英语：Schanuel's conjecture）等等。

数值计算

在进行数值计算的目的下，封闭形式不是必需的，而很多极限跟积分都可有效率地进行运算。像代表三体问题或基于电导模型（英语：odgkin–Huxley model）等这些方程式并无封闭解，因此这些系统的未来状态必须以数值运算。

从数值形式变换

一些软件可尝试从数值中找到封闭形式，这其中包括了RIES、^[2]Maple中的identify指令^[3]以及SymPy、^[4]Plouffe逆转器^[5]和反向符号计算器（Inverse Symbolic Calculator）等等。^[6]