单位矩阵

在线性代数中，${\displaystyle n}$阶单位矩阵，是一个${\displaystyle n\times n}$的方形矩阵，其主对角线元素为1，其余元素为0。单位矩阵以${\displaystyle I_{n}}$表示；如果阶数可忽略，或可由前后文确定的话，也可简记为${\displaystyle I}$^{[注 1]}（或者${\displaystyle E}$）。

${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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此条目的主题是主对角线元素为1、其余元素为0的矩阵。关于所有元素皆为1的矩阵，请见“一矩阵”。

一些数学书籍使用${\displaystyle U}$和${\displaystyle E}$（分别意为单位矩阵（unit matrix）和基本矩阵（Einheitsmatrix）），不过${\displaystyle I}$更加普遍。

特别是单位矩阵作为所有${\displaystyle n}$阶矩阵的环的单位，以及作为由所有${\displaystyle n}$阶可逆矩阵构成的一般线性群${\displaystyle GL(n)}$的单位元（单位矩阵明显可逆，单位矩阵乘自己，仍是单位矩阵）。

这些${\displaystyle n}$阶矩阵经常表示来自${\displaystyle n}$维向量空间自己的线性变换，${\displaystyle I_{n}}$表示恒等函数，而不理会基。

有时使用这个记法简洁的描述对角线矩阵，写作：

${\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,...,1)}$

也可以克罗内克尔δ记法写作：

${\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}}$

性质

根据矩阵乘法的定义，单位矩阵${\displaystyle I_{n}}$的重要性质为：

${\displaystyle AI_{n}=A}$且${\displaystyle I_{n}B=B}$

单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。^[1]具有重数 ${\displaystyle n}$。因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之等于迹数，单位矩阵的迹为${\displaystyle n}$。

注释

1. 在部分领域中，如量子力学，单位矩阵是以粗体字的1表示，否则无法与I作区别。