Loading AI tools
內函子範疇中的么半群物件 来自维基百科,自由的百科全书
數學的分支範疇論中,單子(英語:monad),又稱三元組(triple, triad)、標準構造(standard construction)、基本構造(fundamental construction)[1],是一個內函子(即由某範疇映到自身的函子),連同滿足特定連貫條件的兩個自然變換,三者構成的整體。單子用於研究互為伴隨的函子對,並將偏序集上的閉包算子推廣到任意範疇。
單子是一類內函子(連同其他資訊)。例如,若和為一對伴隨函子,為的左伴隨,則複合是單子。若與互為逆函子,則對應的單子是恆等函子。一般而言,伴隨關係並不等同範疇的等價,而可以聯繫不同性質的範疇。為了探討伴隨關係所「保持」的性質,數學家研究單子論。理論的另一半,即藉考慮,以研究伴隨關係,是單子論的對偶理論。該類函子稱為餘單子(英語:comonad)。
本條目中,皆表示某範疇。上的單子是函子,連同兩個自然變換,分別是單位(其中是上的恆等函子)與乘法(其中是複合,亦是到的函子),且要滿足下列連貫條件:
以上兩式,亦可以下列交換圖複述:
記號與的含義,參見自然變換,又或考慮以下更具體的寫法,不用水平複合記號,並將各函子作用在任意物件上:
定義中,若將當成么半群的乘法,則第一條公理類似么半群的乘法結合律,而第二條公理類似單位元的存在性(由給出)。準確而言,上的單子,可以等價地定義為的內函子範疇中的么半群。(該範疇的物件是上的內函子,而態射是內函子間的自然變換,么半結構來自內函子的複合運算。)如此,單子不僅在形式上具有與么半群相似的公理,甚而單子就是么半群的特例。
冪集單子是集合範疇上的單子。其定義中,函子取為冪集運算,即為集合的冪集,而對於函數,將的子集映至其像集,即。對每個集合,有函數,對每個元素映至單元子集, 並有函數
將的若干個子集構成的族,映至該些子集的並集。以上是冪集單子的定義。
兩個單子的複合,未必為單子。舉例,冪集單子的二次疊代,無法配備單子結構。[2]
取上節定義的範疇論對偶,便是餘單子(或餘三元組)的定義。簡單複述,範疇上的餘單子,是對偶範疇上的單子。所以,餘單子是由到的某個函子,連同餘單位與餘乘法(英語:counit and comultiplication)兩個自然變換,組成的整體,而三者所要滿足的公理,是將原定義中所有態射反轉方向而得。
單子之於么半群,如同餘單子之於餘么半群。每個集合皆是餘么半群,且僅有唯一一種方式,所以抽象代數中,較少考慮餘么半群。然而,在線性代數中,向量空間範疇(配備張量積)的餘么半群較為重要,以餘代數之名為人所知。
此章節需要擴充:中文名稱「單子」由來 |
單子的概念最早由羅傑·戈德芒於1958年提出[3],當時稱為「標準構造」(英語:standard construction)。實際上,該書用到的是餘單子,用作解決某個層餘調問題。
其後,單子又出現於彼得·胡伯(Peter Huber)對範疇同倫的研究中。該論文包含由任意一對伴隨函子得出單子的證明。[4]
1965年,海因里希·克萊斯利[5],及塞繆爾·艾倫伯格、約翰·柯曼·摩爾二人[6]分別獨立證明反向的結論,即每個單子皆可由某對伴隨函子產生。後一篇論文中,將單子稱為「三元組」。
1963年,威廉·洛維爾提出泛代數的範疇論。1966年,弗雷德·林頓(Fred Linton)將該理論用單子的語言表達。[7]單子本身來自拓撲方面的考量,事先似乎比洛維爾的理論更難處理,但已成為用範疇論語言闡述泛代數的方法中,較常見的一個。現今常用的英文名稱monad是1971年由桑德斯·麥克蘭恩在《現職數學家用的範疇》引入,以其類似單子論中的同名哲學概念,即某種能生出其他所有事物的實體。
1980年代,歐金尼奧·莫吉在理論計算機科學中,利用單子,為電腦程式的若干方面建立模型,包括例外處理、邊界情況。[8]此後,有多種函數式編程語言仔細實作此想法,作為一種基本規律,同樣稱為單子。2001年,若干數學家注意到,用單子研究程式標誌語意的方法,與洛維爾的理論,兩者之間有關聯。[9]。此為代數與語義間的聯繫,是後來活躍的研究課題。
若有伴隨關係
(即為的左伴隨,下同),則由此有上的單子。此普遍的構造,取內函子為複合
而單位自然變換來自伴隨的單位,乘法自然變換源自伴隨的餘單位:
反之,給定單子,可以明確找回一對伴隨函子,使單子為該對伴隨函子的複合。此構造用到下節定義的代數的艾倫伯格-摩爾範疇。[10]
給定域,雙重對偶單子(英語:double dualisation monad)源自伴隨關係
其中兩個函子皆將向量空間映至對偶空間,所以對應的單子將向量空間映至雙對偶。Kock (1970)對此有更廣泛的討論。
偏序集可以視為特殊的範疇,任意兩件物件之間有最多一支態射,且到有態射若且唯若偏序中。於是,偏序集之間的函子,即是保序映射,而伴隨函子對,則組成兩偏序集間的伽羅瓦連接,相應的單子是伽羅華連接的閉包算子。
又舉例,設為群範疇至集合範疇的遺忘函子,將群映至其基集,又設為自由函子,由到,則是的左伴隨。此時,對應的單子的作用是,輸入一個集合,輸出自由群的基集,即字母取自,且無相鄰兩個字母互為逆元的字串的集合。
該單子的單位變換,由包含映射
給出,該包含映射將的任意元素,看成僅得一個字元的字串,從而是的元素。最後,單子的乘法
是串接或「壓平」運算,將若干條字串組成的串,映至該串中所有字串前後連接而成的一條字串。至此描述完單子的兩個自然變換。
前述例子中,自由群可以推廣至其他種類的代數結構,即泛代數意義下的任意一簇代數。如此,每類代數定義了集合範疇上的一個單子。更重要的是,該類代數的範疇,可從單子找回,即單子的艾倫伯格-摩爾代數範疇,故單子可視為泛代數之簇的推廣。
另外,尚有一個單子源自伴隨關係。在向量空間範疇上,若表示將向量空間映至其張量代數的內函子,則相應有單位自然變換將嵌入到其張量代數,並有乘法自然變換,在處的分量是態射,將張量積之張量積展開化簡。
只要滿足某些不強的條件,無左伴隨的函子也可以產生單子,稱為餘密度單子。例如,從有限集合範疇到集合範疇的包含函子無法配備左伴隨,但其餘密度單子定義在上,將任意集合映至其上所有超濾子的集合。 類似例子見於Leinster (2013)。
給定範疇上的單子,可以考慮中的代數物件。在該些物件上的作用,與單子的單位與乘法相容。具體而言,代數是中的物件,連同態射(稱為該代數的結構映射),使得圖
及 |
皆可交換。
代數間的態射是中的態射,且要使
可交換。於是,代數及之間的態射組成範疇,稱為艾倫伯格-摩爾範疇(英語:Eilenberg–Moore category),記為.
若為前述自由群單子,則代數是集合,連同由生成的自由群到的映射(求值,evaluation),且該映射要滿足結合律與單位元的公理。換言之,本身就具有群結構,而至的映射,是將字串按的群乘法,計算所得的結果
另一個例子是集合範疇上的分佈單子(英語:distribution monad),其將集合映至其上所有有限支撐的概率分佈的集合。該等分佈,是函數,僅於有限多個元素處取值非零,而各元素處取值之和為。以符號表示,
可由定義證明,分佈單子上的代數,等同於凸集,即集合要配備二元運算(對每個),滿足的公理比照歐氏空間中,凸組合具備的性質。[11][12]
另一個有用的單子,是交換環的模範疇上的對稱代數單子
將模映到各階對稱張量冪的直和
其中。例如,,左右兩邊作為模同構。如此,對稱代數單子上的代數,是交換代數。類似地,也有反對稱張量單子與全張量單子,相應的代數分別是反對稱代數與自由代數,故
前者是上添加個生成元的自由反對稱代數,而後者則是個生成元的自由代數。
對於可交換代數,亦有類似的構造,[13]:113對於可交換代數,對應單子上的代數是可交換的代數。若表示模的範疇,則可以考慮函子,定義為
其中
此函子是單子,而由該單子上的代數範疇,可以得到可交換代數的範疇。
如前文所述,任何伴隨關係皆產生單子。反之,每個單子皆可由某個伴隨關係產生,即原範疇與代數的艾倫伯格-摩爾範疇之間的自由-遺忘伴隨
其中,左伴隨將的物件映到自由代數,右伴隨則將代數遺忘掉,變回。然而,通常有多組不同的伴隨關係產生同樣的單子,該些伴隨關係組成範疇:物件是伴隨關係使得,而態射是在一側為恆等函子的伴隨關係態射。如此,艾倫伯格-摩爾範疇的自由-遺忘伴隨是的終物件,而始物件是克萊斯利範疇,定義為中的自由代數組成的完全子範疇,即僅包含形如的代數,其中歷遍的物件。
設有伴隨關係,對應單子為,則函子可分解為
其中是遺忘函子。換言之,對中任意物件,都能賦予自然的代數結構。若分解式中,首個函子給出與兩範疇間的等價,則形容該伴隨關係為單子的(英語:monadic)。[14]後亦引申用作形容函子,若函子有左伴隨,且該伴隨關係為單子的,則亦稱為單子的。例如,群範疇與集合範疇間的自由-遺忘伴隨是單子的,因為相應單子上的代數是群(見前文)。一般而言,若有伴隨關係為單子的,則單從的物件及其上的作用,已足以重組出的物件。
貝克單子性定理給出伴隨關係在何種充要條件下為單子的。定理有以下簡化版:
若滿足以下三項條件:
- 為保守函子,換言之,反映同構(英語:reflects isomorphisms),即對中每一支態射,其為同構當且僅當在作用下的像為中的同構;
- 有餘等化子;
- 保餘等化子;
則為單子的。
例如,由緊豪斯多夫空間範疇到集合範疇的遺忘函子是單子的。然而,由任意拓撲空間範疇到集合範疇的遺忘函子則並非單子的,而定理中,保守函子的條件不成立,因為有非緊或非豪斯多夫空間,之間存在連續雙射,但不為同胚。[15] 貝克定理有對偶版本,刻劃餘單子伴隨關係,對拓撲斯論及有關下降的代數幾何課題有用。
餘單子的伴隨關係,首先有下列例子:
其中皆為交換環,左伴隨用到的張量積的定義中,選定了環同態,而右伴隨是遺忘函子。根據貝克定理,當且僅當為忠實平坦模時,該伴隨為餘單子的。所以,可將配備下降數據(英語:descent datum,即源自伴隨關係的餘單子的作用)的模,降成模。所得的忠實平坦下降理論,廣泛應用於代數幾何。
函數式編程中,會使用單子表達某類(有時有副作用的)順序式計算,見單子 (函數式編程)。
亦可定義2-範疇中的單子。
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.