子集

子集（英語：subset）亦稱部分集合，為某集合中部分元素的集合；這時某集合則被稱作這個子集的超集或母集。子集與超集的關係被稱為「包含」。

A是B的子集，B是A的超集。

如果集合${\displaystyle A}$的任意一個元素都是集合${\displaystyle B}$的元素（${\displaystyle \forall x\left({x\in A\rightarrow x\in B}\right)}$，亦可寫作${\displaystyle \forall x\in A\left({x\in B}\right)}$），則集合${\displaystyle A}$稱為集合${\displaystyle B}$的子集，記為${\displaystyle A\subseteq B}$或${\displaystyle B\supseteq A}$，讀作「集合${\displaystyle A}$包含於集合${\displaystyle B}$」或「集合${\displaystyle B}$包含集合${\displaystyle A}$」。

即：${\displaystyle \forall x\in A}$，有${\displaystyle x\in B}$，則${\displaystyle A\subseteq B}$。

若${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$為集合，且${\displaystyle A}$的所有元素都是${\displaystyle B}$的元素，則可表示為：

• ${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的子集（或稱${\displaystyle A}$包含於 ${\displaystyle B}$）；${\displaystyle A\subseteq B}$
• ${\displaystyle B}$是${\displaystyle A}$的超集／母集（或稱${\displaystyle B}$包含 ${\displaystyle A}$）；${\displaystyle B\supseteq A}$

任何集合${\displaystyle B}$皆是自身的子集（${\displaystyle B\subseteq B}$）。而${\displaystyle B}$的子集中不等於${\displaystyle B}$的集合，稱為真子集，若${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的真子集，寫作${\displaystyle A\subsetneqq B}$。

定義

假設有${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$兩個集合，如果${\displaystyle A}$中的每個元素都在${\displaystyle B}$中，則：

• ${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的子集，記作${\displaystyle A\subseteq B}$

也可以說

• ${\displaystyle B}$是${\displaystyle A}$的超集，記作${\displaystyle B\supseteq A}$

如果${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的子集，但${\displaystyle A}$不等於${\displaystyle B}$（即${\displaystyle B}$中至少存在一個元素不在${\displaystyle A}$中），則：

• ${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的真子集，記作${\displaystyle A\subsetneqq B}$

也可以說

• ${\displaystyle B}$是${\displaystyle A}$的真超集，記作${\displaystyle B\supsetneqq A}$

符號

ISO 80000-2標準中定義了兩種符號搭配：^[1]

• 如果用${\displaystyle \subseteq }$表示子集關係（包含關係），那麼用${\displaystyle \subset }$表示真子集關係（真包含關係）。^[2][3][4]
• 如果用${\displaystyle \subset }$表示子集關係（包含關係），那麼用${\displaystyle \subsetneqq }$表示真子集關係（真包含關係）。^[5]:p.6

舉例

• 集合${\displaystyle \left\{1,2\right\}}$是集合${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$的真子集。
• 自然數集合是有理數集合的真子集。
• 集合${\displaystyle \{x:x}$是大於2000的素數${\displaystyle \}}$是集合${\displaystyle \{x:x}$是大於1000的奇數${\displaystyle \}}$的真子集。
• 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
• 空集，寫作${\displaystyle \varnothing }$，是任意集合${\displaystyle X}$的子集。空集總是其他集合的真子集，除了其自身。

性質

A是B的子集。

命題1：空集是任意集合的子集。

這個命題說明：包含是一種偏序關係。

命題2：若${\displaystyle A,B,C}$是集合，則：

自反性：

• ${\displaystyle A\subseteq A}$

反對稱性：

• 若${\displaystyle A\subseteq B}$且${\displaystyle B\subseteq A}$，則${\displaystyle A=B}$

傳遞性：

• 若${\displaystyle A\subseteq B}$且${\displaystyle B\subseteq C}$，則${\displaystyle A\subseteq C}$

這個命題說明：對任意集合${\displaystyle S}$，${\displaystyle S}$的冪集按包含排序是一個有界格，與上述命題相結合，則它是一個布爾代數。

命題3：若${\displaystyle A,B,C}$是集合${\displaystyle S}$的子集，則：

存在一個最小元和一個最大元：

• ${\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S}$（${\displaystyle \varnothing \subseteq A}$由命題1給出）

存在並運算：

• ${\displaystyle A\subseteq A\cup B}$
• 若${\displaystyle A\subseteq C}$且${\displaystyle B\subseteq C}$，則${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$

存在交運算：

• ${\displaystyle A\cap B\subseteq A}$
• 若${\displaystyle C\subseteq A}$且${\displaystyle C\subseteq B}$，則${\displaystyle C\subseteq A\cap B}$

命題4：對任意兩個集合${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$，下列表述等價：

• ${\displaystyle A\subseteq B}$
• ${\displaystyle A\cap B=A}$
• ${\displaystyle A\cup B=B}$
• ${\displaystyle A-B=\varnothing }$
• ${\displaystyle B'\subseteq A'}$

這個命題說明：表述"${\displaystyle A\subseteq B}$"，和其他使用併集，交集和補集的表述是等價的，即包含關係在公理體系中是多餘的。