二面體

在幾何學中，二面體是指由2個面組成的多面體，但由於三維空間中的多面體至少要具有4個面，因此少於四個面的多面體只能是退化的，換句話說，小於4個面的多面體無法具有非零的體積。二面體中最常見的就是多邊形二面體，即由兩個全等的平面圖型封閉出的零體積空間所形成的退化多面體。最簡單的二面體是一種球面鑲嵌：一角形二面體，它的對偶是一面形。另外二面體也可以以環形多面體（英語：Toroidal polyhedron）或正則地區圖的形式存在。

二面體

部分的二面體 一角形二面體 環形二面體{4,4}1,1 一角錐 二面形

二面體中不存在任何柱體，因為如果柱體要僅有兩個面，代表其不存在側面，而這樣的立體就不是柱體了。

常見的二面體

平面圖形

主條目：多邊形二面體

任何平面圖形都可以視為一個二面體，並且屬於二面體群。

若將一封閉的平面圖形放置於三維空間也可以視為一個二面體，如多邊形二面體。他們皆屬於二面體群，是透鏡空間（英語：Lens_space）的基本域^[1]。

球面鑲嵌

二面體可以以球面鑲嵌的方式存在，最簡單的例子是二面形。

名稱	二面形	一角形二面體	多邊形二面體
圖像
施萊夫利符號	{2,2}	{1,2} h{2,2}	{n,2}
考克斯特記號

二面形

主條目：多面形

一個二面形，是一種由二個鑲嵌在球體上的球弓形組成的多面形，施萊夫利符號中利用{2,2}來表示，該符號表達了二面形的結構——每個頂點都是2個二角形的公共頂點。

一角形二面體

球面上的一角形二面體

一角形二面體，又稱為雙一角形（dimonogon^[2]）是一種退化的多邊形二面體，由2個一角形組成，這個幾何結構只有1個頂點，該頂點為2個一角形的公共頂點，在施萊夫利符號中用{1,2}表示，其具有2個面、1條邊和1個頂點，對偶多面體是一個一面體：一面形。^[2]

在球面幾何學中，一角形二面體是一個球面上的一個圓上任一頂點。這形成了一個二面體，施萊夫利符號中利用{1,2}來表示，與的兩個半球形一角形面，共用一個360°的邊和一個頂點。它的對偶是一面形，施萊夫利符號中利用{2,1}來表示，具有一個二角形面（一個完整的360°弓形），一個180°的邊際，和兩個頂點，因此屬於一面體。

一角形二面體可以截角為三面形^[2][3]。

作為正則地區圖的一角形二面體。兩個面分別以藍色和黃色表示

截角的一角形二面體，紅色為截角的截面，所形成的立體為三面形

一角錐

作為球面鑲嵌的一角錐

一角錐是指底面為一角形的錐體，由於其底面為一角形，因此在歐幾里得空間中，其已經退化無法擁有體積。在球面幾何學中，其可以作為球面鑲嵌，此時的一角錐由1個球面一角形和1個球面三角形構成。這種一角錐共有2個面、2條邊和2個頂點。一角錐的對偶多面體同樣是一角錐，因此是一種自身對偶的多面體。

雙一角錐

雙一角錐是以一角形為底的雙錐體，為一角柱的對偶多面體。由於其以一角形為底，因此在歐幾里得空間中，其已經退化無法擁有體積。在球面幾何學中，其可以作為球面鑲嵌，這種雙一角錐由2個面、3條邊和3個頂點組成，其兩個面都是三角形，但拓撲結構與三角形二面體不同，其中的兩個頂點為對蹠點，剩下的一個頂點位於赤道面上連結與對蹠點相連的兩條邊。雙一角錐的對偶多面體為一角柱。

環形多面體

{4,4}_1,1是一種在環面由兩個兩兩共用頂點的四邊形組成

部分的環形多面體也是二面體，例如{4,4}_1,1是一種環形二面體^[5]，為環面上的兩個四邊形面共用2個頂點和4條邊；以及{3,6}_1,0也是一種環面二面體，為環面上兩個三角形共用一個頂點和三條邊。

正則地區圖

部分的正則地區圖由兩個面組成，可以視為二面體的一種，例如虧格為2的二面正則地區圖有S2:{8,4}、S2:{6,6}和S2:{5,10}。其中S2:{8,4}為由兩個八邊形面共用4個頂點和8條邊^[6]，並且八邊形在頂點周圍自我重複相鄰兩次，也就是頂點周圍圍繞著4個八邊形，且對應的皮特里多邊形為八邊形，因此其在施萊夫利符號中可以用{8,4}₈來表示^[7]；S2:{6,6}為由兩個六邊形共用兩個頂點和6條邊^[8]，並且六邊形在頂點周圍自我重複相鄰三次，也就是其頂點周圍圍繞著六個六邊形，且對應的皮特里多邊形為二角形，因此在施萊夫利符號中可以用{6,6}₂來表示^[7]；S2:{5,10}為由兩個五邊形共用一個頂點和5條邊^[9]，並且五邊形在頂點周圍自我重複相鄰五次，也就是其頂點周圍圍繞著10個五邊形，且對應的皮特里多邊形為二角形，因此在施萊夫利符號中可以用{5,10}₂來表示^[7]。

虧格	名稱	施萊夫利符號	頂點	邊	面	組成面	頂點圖	皮特里多邊形	對偶
2[7]	S2:{8,4}	{8,4}8	4	8	2	八邊形	四邊形（4個八邊形的公共頂點）	八邊形	S2:{4,8}（4個面）
	S2:{6,6}	{6,6}2	2	6	2	六邊形	六邊形（6個六邊形的公共頂點）	二角形	自身對偶
	S2:{5,10}	{5,10}2	1	5	2	五邊形	十邊形（10個五邊形的公共頂點）	二角形	S2:{10,5}（1個面）
3[10]	S3:{12,4}	{12,4}6	6	12	2	十二邊形	四邊形（4個十二邊形的公共頂點）	六邊形	S3:{4,12}（6個面）
	S3:{8,8}4	{8,8}4	2	8	2	八邊形	八邊形（8個八邊形的公共頂點）	四邊形	自身對偶[11][12]
	S3:{8,8}2	{8,8}2						二角形
	S3:{7,14}	{7,14}2	1	7	2	七邊形	十四邊形（14個七邊形的公共頂點）	二角形	S3:{14,7}（1個面）
4[13]	S4:{16,4}	{16,4}16	8	16	2	十六邊形	四邊形（4個十六邊形的公共頂點）	十六角形	S4:{4,16}（8個面）
	S4:{12,6}	{12,6}4	4	12	2	十二邊形	六邊形（6個十二邊形的公共頂點）	四邊形	S4:{6,12}（4個面）
	S4:{10,10}	{10,10}2	2	10	2	十邊形	十邊形（10個十邊形的公共頂點）	二角形	自身對偶
	S4:{9,18}	{9,18}2	1	9	2	九邊形	十八邊形（18個九邊形的公共頂點）	二角形	S4:{18,9}（1個面）

圓錐

主條目：圓錐

在不嚴謹的情況下，圓錐也能算是一種二面體，因為它可以看做是只有兩個面的幾何體，由一曲面（側面）和一圓形平面（底面）所組成。

二面體列表

名稱	種類	圖像	符號	頂點	邊	面	χ	面的種類	對稱性
一角形二面體	多邊形二面體		{1,2}	1	1	2	2	2個一角形	C1v （*22）
二面形	多面形 多邊形二面體		{2,2}	2	2	2	2	2個二角形	D2h （*222）
一角錐	角錐 退化多面體 球面多面體		( )∨{1}	2	2	2	2	1個一角形 1個三角形	C1v, [1]
雙一角錐	雙錐體 退化多面體 球面多面體		{ }+{1}	3	3	2	2	2個三角形	D1h, [1,2], (*221) order 4
四面形半形 （hemi-4-hosohedron）[14]	多面形 多面體半形		{2,4}4/2	1	2	2	1	2個二角形
三維多邊形	多邊形二面體		{n,2}	n	n	2	2	2個全等的多邊形	Dnh （*n22）
二階無限邊形鑲嵌[16]	鑲嵌圖		{∞,2}	∞	∞	2	2	2個無限邊形	[∞,2], (*∞22)
{4,4}1,1	環形多面體		{4,4}1,1	2	4	2	0	2個正方形
{3,6}1,0	環形多面體		{3,6}1,0	1	3	2	0	2個正三角形
S2:{8,4}[6]	正則地區圖		{8,4}8[7]	4	8	2	-2	2個八邊形
S2:{6,6}[8]	正則地區圖		{6,6}2[7]	2	6	2	-2	2個六邊形
S2:{5,10}[9]	正則地區圖		{5,10}2[7]	1	5	2	-2	2個五邊形
圓錐體	非嚴格多面體 曲面 柱體			1	1	2	2	1個曲面 1個圓形

參見

• 二角形
• 多面形
• 多邊形