三角多項式

在數學中，三角多項式是一類基於三角函數的函數的總稱。三角多項式是可以表示成有限個正弦函數sin(nx) 和餘弦函數cos(nx) 的和的函數，其中的x 是變量，而n 是一個自然數。三角多項式中每一項的係數可以是實數或者複數。如果係數是複數的話，那麼這個三角多項式是一個傅立葉級數。

三角多項式在許多數學分支，如數學分析和數值分析中都有應用，例如在傅立葉分析中，三角多項式被用於傅立葉級數的表示，在三角插值法中，三角多項式被用於逼近周期性函數。

三角多項式一般可以寫成

定義

一個函數T如果能夠寫成：

${\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\mathrm {i} \sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbf {R} )}$

的形式，其中對於所有的${\displaystyle 0\leq n\leq N}$，a_n 和 b_n都是複數，那麼就稱其為N階復三角多項式^[1][2]。運用歐拉公式，這個函數可以寫為：

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nx}\qquad (x\in \mathbf {R} ).}$

同樣地，如果對於所有的${\displaystyle 0\leq n\leq N}$，a_n 和b_n都是實數的話，那麼函數t

${\displaystyle t(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbf {R} )}$

就被稱N階實三角多項式^[2]。

性質

${\displaystyle \scriptstyle \cos n\theta \,}$是關於${\displaystyle \scriptstyle \cos \theta \,}$的n 次多項式。

${\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )\,}$

實際上，這種多項式稱為第一類切比雪夫多項式。同樣地，${\displaystyle \scriptstyle \sin n\theta \,}$也是關於${\displaystyle \scriptstyle \cos \theta \,}$和${\displaystyle \scriptstyle \sin \theta \,}$的n 次多項式，稱為第二類切比雪夫多項式。

${\displaystyle \sin(\theta )U_{n}(\cos(\theta ))=\sin((n+1)\theta )\,}$

因此，一個三角多項式實際上也可以認為是關於三角函數${\displaystyle \scriptstyle \cos \theta \,}$和${\displaystyle \scriptstyle \sin \theta \,}$的多項式。

三角多項式都是周期為${\displaystyle \scriptstyle 2\pi \,}$的周期函數。同時，任何連續的周期函數都可以藉助於三角多項逼近到任意接近的程度。