週期函數

在數學中，週期函數是無論任何獨立變量上經過一個確定的週期之後數值皆能重複的函數。我們日常所見的鐘錶指針以及月亮的月相都呈現出週期性的特點。週期性運動是系統的運動位置呈現週期性的運動。

對於實數或者整數函數來說，週期性意味著按照一定的間隔重複一個特定部分就可以繪製出完整的函數圖。如果在函數${\displaystyle f}$中所有的位置${\displaystyle x}$都滿足

${\displaystyle f(x+T)=f(x)}$

那麼，${\displaystyle f}$就是週期為${\displaystyle T}$的週期函數。非週期函數就是沒有類似週期${\displaystyle T}$的函數。

如果週期函數${\displaystyle f}$的週期為${\displaystyle T}$，那麼對於${\displaystyle f}$中的任意${\displaystyle x}$以及任意整數${\displaystyle n}$，有

${\displaystyle f(x+Tn)=f(x)}$

若${\displaystyle T=1}$，則${\displaystyle f(x)=f(x+1)=f(x+2)=\cdots }$。但是函數週期不一定是滿足上述等式的最小值，${\displaystyle T}$也可以是${\displaystyle 2}$。常見的週期函數有${\displaystyle \sin x}$，${\displaystyle \cos x}$和${\displaystyle \tan x}$等。

${\displaystyle f(x)=\sin x}$與${\displaystyle f(x)=\cos x}$的圖，二者的週期都是${\displaystyle 2\pi }$。

一個簡單的例子是${\displaystyle f}$的小數變量：

${\displaystyle f(0.5)=f(1.5)=f(2.5)=\cdots =0.5}$

其中有一些例子是鋸齒波、方波以及三角形波。

三角函數正弦函數與餘弦函數都是常見的週期函數，其週期為${\displaystyle 2\pi }$。傅立葉級數研究的就將任意的週期函數用合適的三角函數的和來表示。

複數函數可能會有兩個不相稱的週期，橢圓函數就是類似的函數。

通用定義

設${\displaystyle E}$為封閉性運算${\displaystyle \color {blue}{+}}$上的一個集合，在${\displaystyle E}$中週期為${\displaystyle T}$的週期函數是滿足如下條件的函數${\displaystyle f}$集合${\displaystyle F}$：

對於${\displaystyle E}$中的所有${\displaystyle x}$，滿足${\displaystyle f(x+T)=f(x)}$且${\displaystyle T\neq 0}$。

注意：除非${\displaystyle +}$是可交換的，否則${\displaystyle T}$必須位於右側。

週期${\displaystyle T}$不是唯一的，${\displaystyle T}$的所有整數倍都是函數的週期。若最小正週期${\displaystyle T}$存在，則稱${\displaystyle T}$為函數的基本週期。

週期序列

一些自然出現的序列也是週期性的，如一些有理數中的循環小數，因此我們可以說序列中的週期只是通用定義的一種特例。

平移對稱

如果用週期函數描述一件物體，如用位置的函數表示無限圖像的顏色，那麼函數的週期性就對應於物體的平移對稱。

參見

• 概週期函數
• 振幅
• 音高
• 頻率
• 振動
• 準週期函數
• 波長

外部連結

• MathWorld的週期函數（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）