三角積分

三角積分是含有三角函數的一種積分。一些簡單的含有三角函數的積分，可在三角函數積分表中找到。

Si(x)（紅）和Ci(x)（藍）

正弦積分

主條目：Si 函數

有兩種不同的正弦積分：

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)\,}$是${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\,}$的原函數，當${\displaystyle x=0\,}$時為零；${\displaystyle {\rm {si}}(x)\,}$是${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\,}$的原函數，當${\displaystyle x=\infty }$時為零。我們有：

${\displaystyle {\rm {si}}(x)={\rm {Si}}(x)-{\frac {\pi }{2}}}$

注意到${\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}}$是sinc函數，也是第零個球貝索函數。

餘弦積分

有兩種不同的餘弦積分：

${\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}$

其中${\displaystyle \gamma }$是歐拉-馬斯刻若尼常數.

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)\,}$是${\displaystyle {\frac {\cos x}{x}}}$的原函數，當${\displaystyle x\to \infty }$時為零。我們有：

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,}$

${\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,}$

雙曲正弦積分

主條目：雙曲正弦積分函數

${\displaystyle {\rm {Shi}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,dt={\rm {shi}}(x).}$

雙曲餘弦積分

主條目：Chi 函數

${\displaystyle {\rm {Chi}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt={\rm {chi}}(x)}$

展開式

有各種各樣的展開式，可以用於計算三角積分。

漸近展開式

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)}$

${\displaystyle {\rm {Ci}}(x)={\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)}$

這些級數是發散的，但可以用來估計，甚至是精確計算三角積分。

收斂級數

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots }$

${\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots }$

這些級數對於任何複數的${\displaystyle ~x~}$都是收斂的，但當${\displaystyle |x|\gg 1}$時，計算非常緩慢，也不是很精確。

與指數積分的關係

函數

${\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}{\rm {d}}t~~,~~~~({\rm {Re}}(z)\geq 0)}$

稱為指數積分，與正弦和餘弦積分有以下的關係：

${\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)\right)-{\rm {Ci}}(x)=i~{\rm {si}}(x)-{\rm {ci}}(x)\qquad (x>0)}$

參見

• 指數積分
• 對數積分

參考文獻

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. （See Chapter 5）（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  • 第5.2節，正弦和餘弦積分（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）