主值

關於有關反常積分裡的主值，請見「柯西主值」。

關於反三角函數裡的主值，請見「反三角函數 § 主值」。

在數學領域（特別是複分析領域）中，多值函數的主值（英語：principal values）是指從函數的主分支選出，使其為單值函數的值。最簡易的例子是正數的平方根。4有兩個平方根：2和−2，其中將正根2視為主值，因此將此定義為${\displaystyle {\sqrt {4}}}$。

以下主要會探討複變函數下的主值。

動機和目的

考慮複對數函數log z，定義為滿足下式的複數w

${\displaystyle e^{w}=z.}$

假如想要找到log i，就要求解

${\displaystyle e^{w}=i}$

裡的${\displaystyle w}$，${\displaystyle i\pi /2}$是一個解。

不過，上式的解不唯一，考慮i在複平面裡的位置，以及其輻角。若從1逆時針旋轉${\displaystyle \pi /2}$弧度，可以到達i，但若再旋轉${\displaystyle 2\pi }$弧度，又可以到達i，因此${\displaystyle i(\pi /2+2\pi )}$ 也是log i的一個值。原來的解再加上${\displaystyle 2\pi }$的整數倍，都會是log i的值。

因此，所得到的結果和一般函數的概念不同：log i沒有一個確定的值，針對log z，可以得到:${\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right)=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \ z+2\pi k\right)}$ 其中的k是整數，而Arg z是z的主輻角，定義在${\displaystyle (-\pi ,\ \pi ]}$區間內。每個k值都確定多值函數的一個分支。若考慮單一分支，有時會使用分支切割（英語：branch cut）。此時移去Arg z函數定義域的非正實數，去掉${\displaystyle \pi }$是個可行的作法。在此切割下，單分支的函數就是連續函數，在其定義域各處都可解析。

對應k = 0的分支即為主分支，在上面的值也就稱為主值。

一般情形

一般來說，若f(z)是多值函數，其主分支f會寫成

${\displaystyle \mathrm {pv} \,f(z)}$

使在f定義域內的z，pv f(z)是單值函數。

複變函數的主值

複變函數在一些定義域下會是多值函數。可以將這些函數改為對應的主分支，即可變成單值函數，其值即為主值。

對數函數

前文中已經探討對數函數

${\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right).}$

arg z在其本質上就是多值函數。一般常會定義複數的輻角在${\displaystyle -\pi }$和${\displaystyle \pi }$之間，因此將此定義為輻角函數的主值，將此分支下的輻角函數用Arg z表示（第一個字母A大寫）。若是用輻角主值Arg z來代替輻角arg z，可以得到對數函數的主值，可以寫成^[1]

${\displaystyle \mathrm {pv} \log {z}=\mathrm {Log} \,z=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \,z\right).}$

方根

針對複數${\displaystyle z=re^{i\phi }\,}$，其平方根的主值為：

${\displaystyle \mathrm {pv} {\sqrt {z}}=\exp \left({\frac {\mathrm {pv} \log z}{2}}\right)={\sqrt {r}}\,e^{i\phi /2}}$

其輻角範圍為${\displaystyle -\pi <\phi \leq \pi .}$。有時會分割分支，使負實數不在方根函數的值域中，去除${\displaystyle \phi =\pi }$的可能性。

反三角和反雙曲函數

複數的反三角函數（arcsin, arccos, arctan等）和反雙曲函數（arsinh, arcosh, artanh等）可以用對數和其主值來定義。

複數的輻角

比較atan和atan2函數

複數之輻角的主值，若以弧度表示，有以下兩種定義：

• 在範圍${\displaystyle [0,2\pi )}$內的值
• 在範圍${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$內的值

例如，許多電腦系統會有atan2(y, x)函數，atan2(imaginary_part(z), real_part(z))的值會在${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$區間內。與其相對的，atan y/x的值會在${\displaystyle ({\tfrac {-\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}]}$區間內。