主分支

例子

主分支常用在反三角函數的定義上，可能會選擇

\arcsin :[-1,+1]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]

或是

\arccos :[-1,+1]\rightarrow [0,\pi ]

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另一個比較熟悉的主分支，且限定在實數的，是 $1/2$ 次方對應的正實數。

例如，考慮 $y = x 1/2$ 關係，其中 $x$ 是正的實數。

此關係可以用所有平方後等於 $x$ 的 $y$ 來滿足（y可正可負）。依照慣例，√x會是滿足之前關係的正值。

在此例中，正平方根函數是多值關係 $x 1/2$ 的主分支。

從複分析裡的指數函數和對數也可以探討主分支。

指數函數 $e z$ 是單值函數，定義為

e^{z}=e^{a}\cos b+ie^{a}\sin b

其中 $z=a+ib$ .

不過，三角函數的周期性可以清楚看出其反函數的對數函數其值不唯一。考慮下式：

\operatorname {Re} (\log z)=\log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

和

\operatorname {Im} (\log z)=\operatorname {atan2} (b,a)+2\pi k

其中 $k$ 是整數， $atan2$ 將 $arctan(b/a)$ 函數的值從其主值域 $(-\pi /2,\;\pi /2]$ ，對應 $a>0$ ，擴展到 $arg(z)$ 函數的主值範圍 $(-\pi ,\;\pi ]$ ，包括複平面的所有象限。

任何用上述準則定義的數 $log z$ 都滿足此性質 $e log z = z$ 。

依上述所述，log函數是多值函數（在複變分析常稱為是multifunction）。分支切割一般會沿著負實軸，會限制虛部，使其在 $-π$ 和 $π$ 之間，這就是選定的主值。

這是對數函數的主分支，常會用 $Log z$ 表示，log的l改為大寫的L。

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例子