二項式係數

在數學上，二項式係數是二項式定理中各項的係數。一般而言，二項式係數由兩個非負整數${\displaystyle n}$和${\displaystyle k}$為參數決定，寫作 ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$，定義為 ${\displaystyle (1+x)^{n}}$的多項式展開式中，${\displaystyle x^{k}}$項的係數，因此一定是非負整數。如果將二項式係數 ${\displaystyle {\binom {n}{0}},{\binom {n}{1}},\dots ,{\binom {n}{n}}}$寫成一行，再依照 ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$順序由上往下排列，則構成帕斯卡三角形。

二項式係數可排列成帕斯卡三角形

二項式係數常見於各數學領域中，尤其是組合數學。事實上，${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$可以被理解為從${\displaystyle n}$個相異元素中取出${\displaystyle k}$個元素的方法數，所以 ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$大多讀作「${\displaystyle n}$取${\displaystyle k}$」。二項式係數 ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$的定義可以推廣至${\displaystyle n}$是複數的情況，而且仍然被稱為二項式係數。

歷史及記號

雖然二項式係數在西元10世紀就已經被發現（見帕斯卡三角形），但表達式 ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$卻是到1826年才由安德烈亞斯·馮·厄廷格豪森首次始用^{[注 1]}。最早探討二項式係數的論述是十世紀的 Halayudha（英語：Halayudha）寫的印度教典籍《賓伽羅的計量聖典》（chandaḥśāstra）。約1150年，印度數學家婆什迦羅第二於其著作《Lilavati》^{[注 2]} 中給出一個簡單的描述。

二項式係數亦有不同的符號表達方式，包括：${\displaystyle C(n,k)}$、${\displaystyle _{n}C_{k}}$、${\displaystyle ^{n}C_{k}}$、${\displaystyle C_{n}^{k}}$、${\displaystyle C_{k}^{n}}$^{[注 3]}，其中的 C 代表組合（combinations）或選擇（choices）。很多計算機使用含有 C 的變種記號，使得算式只佔一行的空間，相同理由也發生在置換數 ${\displaystyle P_{k}^{n}}$，例如寫作 P(n, k)。

定義及概念

對於非負整數${\displaystyle n}$和${\displaystyle k}$，二項式係數${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$定義為${\displaystyle (1+x)^{n}}$的多項式展開式(又稱為二項式係數的生成函數)中，${\displaystyle x^{k}}$項的係數，即

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x+\cdots +{\binom {n}{n}}x^{n}}$

事實上，若${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$為交換環上的元素，則

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}}$

此數的另一出處在組合數學，表達了從${\displaystyle n}$物中，不計較次序取${\displaystyle k}$物有多少方式，亦即從一${\displaystyle n}$元素集合中所能組成${\displaystyle k}$元素子集的數量。此定義與上述定義相同，理由如下：若將冪${\displaystyle (1+X)^{n}}$的${\displaystyle n}$個因數逐一標記為${\displaystyle i}$（從1至${\displaystyle n}$），則任一${\displaystyle k}$元素子集則建構成展式中的一個${\displaystyle X^{k}}$項，故此該單項的係數等如此種子集的數量。亦因此，就任何自然數${\displaystyle n}$和${\displaystyle k}$而言，${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$亦為自然數。此外，二項式係數亦見於很多組合問題的解答中，如由${\displaystyle n}$個位元（如數字0或1）組成的所有序列中，其和為${\displaystyle k}$的數目為${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$，又如算式${\displaystyle k=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}$，其中每一${\displaystyle a_{i}}$均為非負整數，則有${\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k}}}$種寫法。這些例子中，大部分可視作等同於點算${\displaystyle k}$個元素的組合的數量。

計算二項式係數

除展開二項式或點算組合數量之外，尚有多種方式計算${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$的值。

遞歸公式

以下遞歸公式可計算二項式係數：

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}\quad \forall n,k\in \mathbb {N} }$

其中特別指定：

${\displaystyle {\binom {n}{0}}=1\quad \forall n\in \mathbb {N} \cup \{0\},}$

${\displaystyle {\binom {0}{k}}=0\quad \forall k\in \mathbb {N} .}$

此公式可由計算${\displaystyle (1+x)^{n-1}(1+x)}$中的${\displaystyle x^{k}}$項，或點算集合${\displaystyle \left\{1,2,\cdots ,n\right\}}$的${\displaystyle k}$個元素組合中包含${\displaystyle n}$與不包含${\displaystyle n}$的數量得出。

顯然，如果${\displaystyle k>n}$，則${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}=0}$。而且對所有${\displaystyle n}$，${\displaystyle {\tbinom {n}{n}}=1}$，故此上述遞歸公式可於此等情況下中斷。遞歸公式可用作建構帕斯卡三角形。

乘數公式

個別二項式係數可用以下公式計算：

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots [n-(k-1)]}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n-(k-i)}{i}},}$

上式中第一個分數的分子是一階乘冪。此公式可以二項式係數在計算組合數量的意義理解：分子為從${\displaystyle n}$個元素中取出${\displaystyle k}$個元素的序列之數量，當中包含同樣的元素但不同排列次序的序列。分母則計算同樣的${\displaystyle k}$個元素可有多少種排序方式。

階乘公式

二項式係數最簡潔的表達式是階乘:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\quad {\mbox{for }}\ 0\leq k\leq n.}$

其中「${\displaystyle n!}$」是${\displaystyle n}$的階乘，此公式從上述乘數公式中分子分母各乘以${\displaystyle (n-k)!}$取得，所以此公式中的分子分母有眾同共同因子。除非先行抵銷兩邊中的共同因子，否則以此公式進行計算時較率欠佳，尤因階乘的數值增長特快。惟此公式展示了二項式係數的對稱特性：

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}\quad {\mbox{for }}\ 0\leq k\leq n.}$

1

一般化形式及其與二項式級數的關係

若將${\displaystyle n}$換成任意數值（負數、實數或複數）${\displaystyle \alpha }$，甚至是在任何能為正整數給出逆元素的交換環中的一元素，則二項式係數可籍乘數公式擴展^{[注 4]}：

${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\mbox{for }}k\in \mathbb {N} {\mbox{ and arbitrary }}\alpha .}$

此定義能使二項式公式一般化（其中一單項為1），故${\displaystyle {\tbinom {\alpha }{k}}}$仍能相稱地稱作二項式係數：

${\displaystyle (1+X)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}X^{k}.}$

2

此公式對任何複數${\displaystyle \alpha }$及${\displaystyle X}$，${\displaystyle \left\vert X\right\vert <1}$時成立，故此亦可視作${\displaystyle X}$的冪級數的恆等式，即係數為常數1，任意冪之級數定義，且在此定義下，對於冪的恆等式成立，例如

${\displaystyle (1+X)^{\alpha }(1+X)^{\beta }=(1+X)^{\alpha +\beta }\quad {\mbox{and}}\quad ((1+X)^{\alpha })^{\beta }=(1+X)^{\alpha \beta }.}$

若${\displaystyle \alpha }$是一非負整數${\displaystyle n}$，則所有${\displaystyle k>n}$的項為零，此無窮級數變成有限項的和，還原為二項式公式，但對於${\displaystyle \alpha }$的其他值，包括負數和有理數，此級數為無窮級數。

帕斯卡三角形 (楊輝三角)

帕斯卡三角形的第1000行，垂直排列，且以灰階表示係數的十進制數位，向右對齊，故左邊邊界約是二項式係數的對數，圖中可見數族形成一對數凹數列

主條目：帕斯卡法則

主條目：帕斯卡三角形

帕斯卡法則是一重要的遞歸等式：

${\displaystyle {n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1},}$

3

此式可以用於數學歸納法，以証明${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$對於所有${\displaystyle n}$和${\displaystyle k}$均為自然數（等同於証明${\displaystyle k!}$為所有${\displaystyle k}$個連續整數之積的因數），此特性並不易從公式(1)中得出。

帕斯卡法則建構出帕斯卡三角形:

0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1

第${\displaystyle n}$橫行列出${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$的${\displaystyle k=0,\ldots ,n}$項，其建構方法為在外邊填上1，然後將上一行中每兩個相鄰數相加的和填在其下，此方法可快速地計算二項式係數而不涉及乘法或分數，例如從第5橫行可馬上得出

${\displaystyle (x+y)^{5}={\boldsymbol {1}}x^{5}+{\boldsymbol {5}}x^{4}y+{\boldsymbol {10}}x^{3}y^{2}+{\boldsymbol {10}}x^{2}y^{3}+{\boldsymbol {5}}xy^{4}+{\boldsymbol {1}}y^{5}}$

在斜線上相鄰項的差就是上一斜線上的數值，此乃上述遞歸等式(3)的延伸意義。

組合數學和統計學

二項式係數是組合數學中的重要課題，因其可用於眾多常見的點算問題中，例如

• 共有${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$種方式從${\displaystyle n}$元素中選取${\displaystyle k}$項。見組合。
• 共有${\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k}}}$種方式從一個${\displaystyle n}$元素集合中選取（容許重覆選取）${\displaystyle k}$元素建立多重集。
• 共有${\displaystyle {\tbinom {n+k}{k}}}$個字符串包含${\displaystyle k}$個1和${\displaystyle n}$個零。
• 共有${\displaystyle {\tbinom {n+1}{k}}}$個字符串包含${\displaystyle k}$個1和${\displaystyle n}$個零，且沒有兩個1相鄰。^{[參 1]}
• 卡塔蘭數是${\displaystyle {\frac {\tbinom {2n}{n}}{n+1}}}$
• 統計學中的二項式分佈是${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\!}$
• 貝茲曲線的公式。

以多項式表達二項式係數

就任就非負整數${\displaystyle k}$，${\displaystyle \scriptstyle {\binom {t}{k}}}$可表達為一多項式除以${\displaystyle k!}$：

${\displaystyle {\binom {t}{k}}={\frac {(t)_{k}}{k!}}={\frac {(t)_{k}}{(k)_{k}}}={\frac {t(t-1)(t-2)\cdots (t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots (2)(1)}};\,\!}$

此為帶有理數係數，變量是${\displaystyle t}$的多項式，可對任意實數或複數${\displaystyle t}$運算以得出二項式係數，此「廣義二項式係數」見於牛頓廣義二項式定理。

就任意${\displaystyle k}$，多項式${\displaystyle {\tbinom {t}{k}}}$可看成是惟一的${\displaystyle k}$次多項式${\displaystyle p(t)}$滿足${\displaystyle p(0)=p(1)=\ldots =p(k-1)=0}$及${\displaystyle p(k)=1}$.

其係數可以第一類斯特靈數表示，即：

${\displaystyle {\binom {t}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\frac {s_{k,i}}{k!}}t^{i}}$

${\displaystyle {\tbinom {t}{k}}}$之導數可以對數微分計算：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\binom {t}{k}}={\binom {t}{k}}\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {1}{t-i}}\,.}$

以二項式係數為多項式空間之基底

在任何包含Q的域中，最多${\displaystyle d}$階的多項式有惟一的線性組合${\displaystyle \sum _{k=0}^{d}a_{k}{\binom {t}{k}}}$。係數${\displaystyle a_{k}}$是數列${\displaystyle p(0),p(1),\ldots ,p(k)}$的第k差分，亦即： ^{[注 5]}

${\displaystyle a_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}p(i).}$

3.5

整數值多項式

每一多項式${\displaystyle {\tbinom {t}{k}}}$在整數參數時均是整數值（可在${\displaystyle k}$上，用帕斯卡法則以歸納法証明）。故此，二項式係數多項式的整數線性組合亦為整數值。反之，(3.5)表達了任何整數值的多項式均是二項式係數多項式的整數線性組合。一般而言，對於一個特徵0域${\displaystyle k}$的任何子環${\displaystyle R}$，在${\displaystyle K[t]}$內的多項式在整數參數時之值均在${\displaystyle R}$內當且僅當該多項式是一二項式係數多項式的${\displaystyle R}$-線性組合。

整數值多項式${\displaystyle {\frac {3t(3t+1)}{2}}}$可表達作：

${\displaystyle 9{\tbinom {t}{2}}+6{\tbinom {t}{1}}+0{\tbinom {t}{0}}}$

從${\displaystyle t=1,2,3}$時${\displaystyle {\frac {3t(3t+1)}{2}}=6,21,45}$用帕斯卡矩陣的逆可算出：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\tbinom {t-1}{0}}&{\tbinom {t-1}{1}}&{\tbinom {t-1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\1&-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\21\\45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\tbinom {t-1}{0}}&{\tbinom {t-1}{1}}&{\tbinom {t-1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\15\\9\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle =6{\tbinom {t-1}{0}}+15{\tbinom {t-1}{1}}+9{\tbinom {t-1}{2}}=6{\tbinom {t}{1}}+9{\tbinom {t}{2}}}$

這種二項式係數多項式結合朱世傑恆等式應用於等冪求和。

有關二項式係數的恆等式

關係式

階乘公式能聯繫相鄰的二項式係數，例如在${\displaystyle k}$是正整數時，對任意${\displaystyle n}$有：

• ${\displaystyle {\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}}$
• ${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}}$
• ${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n-2k}{n}}{\binom {n}{k}}.}$

兩個組合數相乘可作變換：

${\displaystyle {\binom {n}{i}}{\binom {i}{m}}={\binom {n}{m}}{\binom {n-m}{i-m}}}$^{[參 2]}

一階求和公式

• ${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}=2^{n}}$
• ${\displaystyle \sum _{r=0}^{k}{\binom {n+r-1}{r}}={\binom {n+k}{k}}}$
• ${\displaystyle \sum _{r=0}^{n-k}{\frac {(-1)^{r}(n+1)}{k+r+1}}{\binom {n-k}{r}}={\binom {n}{k}}^{-1}}$
• ${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {dn}{dr}}={\frac {1}{d}}\sum _{r=1}^{d}(1+e^{\frac {2\pi ri}{d}})^{dn}}$^{[參 3]}

• ${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\binom {a+i}{i}}={\binom {a+n+1}{n}}-{\binom {a+m}{m-1}}}$

${\displaystyle {\binom {a+m}{m-1}}+{\binom {a+m}{m}}+{\binom {a+m+1}{m+1}}+...+{\binom {a+n}{n}}={\binom {a+n+1}{n}}}$

• ${\displaystyle F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}}$^{[參 4]}

${\displaystyle F_{n-1}+F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-1-i}{i}}+\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i-1}}+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=F_{n+1}}$

主條目：朱世傑恆等式

• ${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\binom {i}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}-{\binom {m}{a+1}}}$

${\displaystyle {\binom {m}{a+1}}+{\binom {m}{a}}+{\binom {m+1}{a}}...+{\binom {n}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}}$

二階求和公式

• ${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}^{2}={\binom {2n}{n}}}$

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1}}{\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1}}={\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1}}}$^{[參 5]}

${\displaystyle (1-x)^{-r_{1}}(1-x)^{-r_{2}}=(1-x)^{-r_{1}-r_{2}}}$

${\displaystyle (1-x)^{-r_{1}}(1-x)^{-r_{2}}=(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+n-1}{r_{1}-1}}x^{n})(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{2}+n-1}{r_{2}-1}}x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1}}{\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1}})x^{n}}$

${\displaystyle (1-x)^{-r_{1}-r_{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1}}x^{n}}$

主條目：范德蒙恆等式

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\binom {n+m}{k}}}$

三階求和公式

主條目：李善蘭恆等式

• ${\displaystyle {\binom {n+k}{k}}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}}$

備註

1. Higham (1998)
2. Lilavati 第6節，第4章（見Knuth (1997)）。
3. Shilov (1977)
4. 見(Graham, Knuth & Patashnik 1994)，其中就${\displaystyle k<0}$定義了${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}=0}$，其他一般化形式包括考慮兩參數為實數或複數時以伽瑪函數為${\displaystyle k<0}$時定義${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$，但此舉會令大部分二項式係數的恆等式失效，故未有被廣泛採用。然而，此方法替不等於零的參數下定義則可得出如Hilton, Holton and Pedersen, Mathematical reflections: in a room with many mirrors, Springer, 1997中那種好看的「帕斯卡風車」，但是卻會令帕斯卡法則在原點失效。
5. 此可視作泰勒定理的離散形式，亦與牛頓多項式有關，此式的交錯項之和可以Nörlund–Rice積分表示。

參考文獻

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• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Concrete Mathematics Second. Addison-Wesley. 1994: 153–256. ISBN 0-201-55802-5.
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• Knuth, Donald E. The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms Third. Addison-Wesley. 1997: 52–74. ISBN 0-201-89683-4.
• Singmaster, David. Notes on binomial coefficients. III. Any integer divides almost all binomial coefficients. J. London Math. Soc. (2). 1974, 8 (3): 555–560. doi:10.1112/jlms/s2-8.3.555.
• Shilov, G. E. Linear algebra. Dover Publications. 1977. ISBN 9780486635187.

參見

• 組合

外部連結

• Calculation of Binomial Coefficient
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