密克定理

密克定理（英語：Miquel's theorem）是幾何學中關於相交圓的定理。1838年，密克敘述並證明了數條相關定理。許多有用的定理可由其推出。

定理陳述

三圓定理：設三個圓${\displaystyle C_{1}}$, ${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{3}}$交於一點${\displaystyle O}$，而${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle P}$分別是${\displaystyle C_{1}}$ 和${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{2}}$和${\displaystyle C_{3}}$, ${\displaystyle C_{3}}$和${\displaystyle C_{1}}$的另一交點。設${\displaystyle A}$為${\displaystyle C_{1}}$的點，直線${\displaystyle MA}$交${\displaystyle C_{2}}$於${\displaystyle B}$，直線${\displaystyle PA}$交${\displaystyle C_{3}}$於${\displaystyle C}$。那麼${\displaystyle B}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle C}$這三點共線。

逆定理：如果${\displaystyle \triangle ABC}$是三角形，${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle P}$三點分別在邊${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$上，那麼三角形${\displaystyle \triangle AMP}$, ${\displaystyle \triangle BMN}$, ${\displaystyle \triangle CNP}$的外接圓交於一點${\displaystyle O}$。

完全四線形定理：如果${\displaystyle ABCDEF}$是完全四線形，那麼三角形${\displaystyle \triangle EAD}$, ${\displaystyle \triangle EBC}$, ${\displaystyle \triangle FAB}$, ${\displaystyle \triangle FDC}$的外接圓交於一點 ${\displaystyle O}$，稱為密克點。

四圓定理：設${\displaystyle C_{1}}$, ${\displaystyle C_{2}}$,${\displaystyle C_{3}}$, ${\displaystyle C_{4}}$為四個圓，${\displaystyle A_{1}}$和${\displaystyle B_{1}}$是${\displaystyle C_{1}}$和${\displaystyle C_{2}}$的交點，${\displaystyle A_{2}}$和${\displaystyle B_{2}}$是${\displaystyle C_{2}}$ 和${\displaystyle C_{3}}$的交點，${\displaystyle A_{3}}$和${\displaystyle B_{3}}$是${\displaystyle C_{3}}$和${\displaystyle C_{4}}$的交點，${\displaystyle A_{4}}$和${\displaystyle B_{4}}$是${\displaystyle C_{1}}$和${\displaystyle C_{4}}$的交點。那麼${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$, ${\displaystyle A_{3}}$, ${\displaystyle A_{4}}$四點共圓當且僅當${\displaystyle B_{1}}$, ${\displaystyle B_{2}}$, ${\displaystyle B_{3}}$, ${\displaystyle B_{4}}$四點共圓。

五圓定理：設${\displaystyle ABCDE}$為任意五邊形，五點${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle J}$分別是${\displaystyle EA}$和${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle AB}$和${\displaystyle CD}$, ${\displaystyle BC}$和${\displaystyle DE}$, ${\displaystyle CD}$和${\displaystyle EA}$, ${\displaystyle DE}$和${\displaystyle AB}$的交點，那麼三角形${\displaystyle \triangle ABF}$, ${\displaystyle \triangle BCG}$, ${\displaystyle \triangle CDH}$, ${\displaystyle \triangle DEI}$, ${\displaystyle \triangle EAJ}$的外接圓的五個不在五邊形上的交點共圓。需要注意這樣構造出的圓並不穿過五個外接圓的圓心。

幾何中的五圓定理是指，五個順次相交的圓，其圓心和一個交點位於第六個圓上，將另一個交點兩兩連接並延長和圓相接，可以構成五角星。^[1]

逆定理：設${\displaystyle C_{1},}$, ${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{3}}$, ${\displaystyle C_{4}}$, ${\displaystyle C_{5}}$五個圓的圓心都在圓${\displaystyle C}$上，相鄰的圓交於${\displaystyle C}$上，那麼把它們不在${\displaystyle C}$上的交點與比鄰同樣的點連起來，所成的五條直線相交於這五個圓上。

歷史

1838年密克在劉維爾的期刊《純粹與應用數學雜誌》發表了該定理的一部份。

密克的第一條定理，是很久前已有的著名經典結果，以圓周角定理證明。

完全四線形四圓的交點現在稱為密克點，但這性質施泰納在1828年已經知道，華萊士也很可能已經知道。

五圓定理是一條更一般的定理的特殊情形。這條定理由克利福德提出及證明。

2000年12月20日，中國國家主席江澤民出席澳門回歸祖國一周年慶典活動期間，在參觀濠江中學時向該校師生出了一道求証「五點共圓」的問題^[2]，令問題重新引起廣泛興趣，五點共圓問題的證明後來也成為膜蛤文化的一部分。

孔涅在2002年10月的一個研討會也重提這問題。