密克定理

密克定理（英語：Miquel's theorem）是幾何學中關於相交圓的定理。1838年，密克敘述並證明了數條相關定理。許多有用的定理可由其推出。

定理陳述

三圓定理：設三個圓${\displaystyle C_{1}}$, ${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{3}}$交於一點${\displaystyle O}$，而${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle P}$分別是${\displaystyle C_{1}}$ 和${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{2}}$和${\displaystyle C_{3}}$, ${\displaystyle C_{3}}$和${\displaystyle C_{1}}$的另一交點。設${\displaystyle A}$為${\displaystyle C_{1}}$的點，直線${\displaystyle MA}$交${\displaystyle C_{2}}$於${\displaystyle B}$，直線${\displaystyle PA}$交${\displaystyle C_{3}}$於${\displaystyle C}$。那麼${\displaystyle B}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle C}$這三點共線。

逆定理：如果${\displaystyle \triangle ABC}$是三角形，${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle P}$三點分別在邊${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$上，那麼三角形${\displaystyle \triangle AMP}$, ${\displaystyle \triangle BMN}$, ${\displaystyle \triangle CNP}$的外接圓交於一點${\displaystyle O}$。

完全四線形定理：如果${\displaystyle ABCDEF}$是完全四線形，那麼三角形${\displaystyle \triangle EAD}$, ${\displaystyle \triangle EBC}$, ${\displaystyle \triangle FAB}$, ${\displaystyle \triangle FDC}$的外接圓交於一點 ${\displaystyle O}$，稱為密克點。

四圓定理：設${\displaystyle C_{1}}$, ${\displaystyle C_{2}}$,${\displaystyle C_{3}}$, ${\displaystyle C_{4}}$為四個圓，${\displaystyle A_{1}}$和${\displaystyle B_{1}}$是${\displaystyle C_{1}}$和${\displaystyle C_{2}}$的交點，${\displaystyle A_{2}}$和${\displaystyle B_{2}}$是${\displaystyle C_{2}}$ 和${\displaystyle C_{3}}$的交點，${\displaystyle A_{3}}$和${\displaystyle B_{3}}$是${\displaystyle C_{3}}$和${\displaystyle C_{4}}$的交點，${\displaystyle A_{4}}$和${\displaystyle B_{4}}$是${\displaystyle C_{1}}$和${\displaystyle C_{4}}$的交點。那麼${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$, ${\displaystyle A_{3}}$, ${\displaystyle A_{4}}$四點共圓當且僅當${\displaystyle B_{1}}$, ${\displaystyle B_{2}}$, ${\displaystyle B_{3}}$, ${\displaystyle B_{4}}$四點共圓。

五圓定理：設${\displaystyle ABCDE}$為任意五邊形，五點${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle J}$分別是${\displaystyle EA}$和${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle AB}$和${\displaystyle CD}$, ${\displaystyle BC}$和${\displaystyle DE}$, ${\displaystyle CD}$和${\displaystyle EA}$, ${\displaystyle DE}$和${\displaystyle AB}$的交點，那麼三角形${\displaystyle \triangle ABF}$, ${\displaystyle \triangle BCG}$, ${\displaystyle \triangle CDH}$, ${\displaystyle \triangle DEI}$, ${\displaystyle \triangle EAJ}$的外接圓的五個不在五邊形上的交點共圓。需要注意這樣構造出的圓並不穿過五個外接圓的圓心。

幾何中的五圓定理是指，五個順次相交的圓，其圓心和一個交點位於第六個圓上，將另一個交點兩兩連接並延長和圓相接，可以構成五角星。^[1]

逆定理：設${\displaystyle C_{1},}$, ${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{3}}$, ${\displaystyle C_{4}}$, ${\displaystyle C_{5}}$五個圓的圓心都在圓${\displaystyle C}$上，相鄰的圓交於${\displaystyle C}$上，那麼把它們不在${\displaystyle C}$上的交點與比鄰同樣的點連起來，所成的五條直線相交於這五個圓上。

歷史

1838年密克在劉維爾的期刊《純粹與應用數學雜誌》發表了該定理的一部份。

密克的第一條定理，是很久前已有的著名經典結果，以圓周角定理證明。

完全四線形四圓的交點現在稱為密克點，但這性質施泰納在1828年已經知道，華萊士也很可能已經知道。

五圓定理是一條更一般的定理的特殊情形。這條定理由克利福德提出及證明。

2000年12月20日，中共中央總書記江澤民到訪澳門並出席澳門回歸祖國一周年慶典活動期間，在參觀濠江中學時向該校師生出了一道求証「五點共圓」的問題^[2]，令問題重新引起廣泛興趣，五點共圓問題的證明後來也成為膜蛤文化的一部分。

孔涅在2002年10月的一個研討會也重提這問題。