伽羅瓦擴張

伽羅瓦擴張是抽象代數中伽羅瓦理論的核心概念之一。伽羅瓦擴張是體擴張的一類。如果某個體擴張L/K既是可分擴張也是正規擴張，則稱其為伽羅瓦擴張。另一個等價的定義是：伽羅瓦擴張是使得其上的環自同構群的固定體為其基體的體擴張。伽羅瓦擴張上的自同構群稱為伽羅瓦群，而且伽羅瓦擴張的中間體與其伽羅瓦群的子群之間的關係滿足伽羅瓦理論基本定理。

等價定義

給定有限的體擴張L/K。L/K是伽羅瓦擴張，若且唯若它滿足以下四個相互等價的條件中的任何一個^[1]:147：

• L/K是可分的正規擴張。
• L是某個以K中元素為係數的多項式在K的分裂體，而且該多項式在此分裂體中沒有重根。
• [L : K] = |Aut(L/K)|。體擴張L/K的次數，等於其上的自同構群Aut(L/K)的階數（群元素的個數）。
• Aut(L/K)的不變體，即${\displaystyle L^{\mathrm {Aut} (L/K)}:=\{x\in L|\forall \sigma \in \mathrm {Aut} (L/K),\sigma (x)=x\}}$，是K。

例子

給定體擴張${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} (\theta ,\omega )}$，其中的θ = ³√2是2的三次方根，ω = e^2iπ⁄3是三次單位根。${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\theta ,\omega )}$是多項式P = X³ - 2在有理數體上的分裂體，而且它在其中沒有重根，所以${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$是伽羅瓦擴張^[1]:52-53。它的擴張次數是6，而它的自同構群元素有六個，同構於3次對稱群。有關其具體結構，可參見伽羅瓦理論基本定理。

性質

如果體擴張基體的特徵為0，那麼所有代數擴張都是可分擴張，這時所有的正規擴張都是伽羅瓦擴張。

如果體擴張L/K是伽羅瓦擴張，則中間擴張K⊂F⊂L中，L/F也是伽羅瓦擴張^[1]:149。

體K的代數閉包K^alg是K的伽羅瓦擴張，若且唯若K是完美體。

參見

• 正規擴張
• 可分擴張
• 伽羅瓦群