正規擴張

正規擴張是抽象代數中的概念，屬於體擴張中的一類。一個有限擴張L/K是正規擴張若且唯若擴張體L是多項式環K[X]中的某個多項式的分裂體。布林巴基學派將這類擴張稱為「准伽羅瓦擴張」。正規擴張是代數擴張的一種。

定義

正規擴張的定義不止一種，以下三個準則都可以刻畫正規擴張，是三個等價的定義。體擴張L/K是正規擴張若且唯若它滿足以下三個等價條件中任意一個：

1. L是多項式環K[X]中的某一族多項式的分裂體。
2. 設K^alg是一個包含了L的K的代數閉包。對於L在K^alg上的每一個嵌入σ，只要它限制在K上的部分是平凡的（即為恆等映射：σ(x) = x），那麼就有σ(L) = L。換句話說，L在K^alg上的每一個K-嵌入σ都是一個L上的K-自同構。
3. 任意一個K[X]上的不可約多項式，只要它在L中有一個根，那麼就可以在L[X]分解成一次因式的乘積（或者說全部的根都在L中）。

例子

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的一個正規擴張，因為它是${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的多項式${\displaystyle x^{2}-2}$的分裂體。然而，${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$並不是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的一個正規擴張，因為${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的不可約多項式${\displaystyle x^{3}-2}$有一個根：${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$在${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$裡面，但它的另外兩個根：${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}\left({\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}\right)}$和${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}\left({\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\right)}$都是複數，不在${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$裡面。只有在加入了三次單位根：${\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}$後的擴張體${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega )}$才是一個正規擴張。

也可以用正規擴張的第二個定義來證明${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$不是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的正規擴張。設體${\displaystyle \mathbb {A} }$是由所有復代數數生成的擴張體，則${\displaystyle \mathbb {A} }$是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的一個代數閉包，並且${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$在${\displaystyle \mathbb {A} }$裡面。另一方面，

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in \mathbb {A} \,|\,a,b,c\in \mathbb {Q} \}}$

並且，如果記${\displaystyle \zeta ={\sqrt[{3}]{2}}\left({\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\right)}$是${\displaystyle x^{3}-2}$的複數根之一，那麼映射：

${\displaystyle {\begin{array}{lccc}\sigma :&\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})&\longrightarrow &\mathbb {A} \\&a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}&\mapsto &a+b\zeta +c\zeta ^{2}\end{array}}}$

是${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$在${\displaystyle \mathbb {A} }$上的一個嵌入，並且它限制在${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的部分是平凡的（將${\displaystyle \mathbb {Q} }$中元素映射到自己）。但是σ並不是${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$上的自同構。

更一般地，對每一個質數p，體擴張${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})}$都是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的一個正規擴張，擴張的次數是p(p - 1)。${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})}$是${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的多項式${\displaystyle x^{p}-2}$的分裂體。其中的${\displaystyle \zeta _{p}}$是任意一個複數p次單位根。

性質

設有體擴張L/K，那麼：

• 如果L是K的正規擴張，並且F是一個子擴張（也就是說有擴張K⊂F⊂L）那麼L也是F的正規擴張。
• 如果L的子體E和F都是K的正規擴張，那麼兩者的複合擴張EF（指L的子體中同時包含E和F的最小者）以及兩者的交E∩F也都是K的正規擴張。

正規閉包

設有體擴張L/K，那麼總存在體擴張M/L，使得M/K是正規擴張。在同構意義上，「最小」的這樣的擴張是唯一。即是說，其他的體擴張N/L如果使得N/K是正規擴張，那麼總存在N/L的子擴張M'/L，使得M'同構於M。這個唯一的「最小」正規擴張M/L稱為體擴張L/K的正規閉包。

如果L/K是有限擴張，那麼它的正規閉包M/L也是有限擴張（因此M/K也是有限擴張）。

參見

• 伽羅瓦擴張

參考來源

• Lang, Serge. Algebra, Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. 2002. ISBN 978-0-387-95385-4.
• Jacobson, Nathan, Basic Algebra II 2nd, W. H. Freeman, 1989, ISBN 0-716-71933-9