等距同構

在數學中，等距同構 ，或稱保距映射，簡稱等距（英語：Isometry），是指在度量空間之中保持距離不變的同構關係。幾何學中的對應概念是全等變換。

等距同構經常用於將一個空間嵌入到另一空間的構造中。例如，測度空間 ${\displaystyle M}$ 的完備化即涉及從 ${\displaystyle M}$ 到 ${\displaystyle M'}$ 的等距同構，這裡 ${\displaystyle M'}$ 是 ${\displaystyle M}$ 上柯西序列所構成的空間關於「距離為零」的等價關係的商集。這樣，原空間 ${\displaystyle M}$ 就等距同構到完備的度量空間的一個稠密子空間並且通常用這一空間來指代原空間 ${\displaystyle M}$。 其它的嵌入構造表明每一度量空間都等距同構到某一賦範向量空間的一個閉子集以及每一完備度量空間都等距同構到某一巴拿赫空間的一個閉子集。

一個希爾伯特空間上的等距、滿射的線性算子被稱為酉算子。

定義

設 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 是兩個度量空間，其中的距離分別是 ${\displaystyle d_{X}}$ 和 ${\displaystyle d_{Y}}$。一個映射 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 被稱為「保距映射」，如果對任意的 ${\displaystyle a,b\in X}$，都有

${\displaystyle d_{Y}\left(f(a),f(b)\right)=d_{X}(a,b)}$

保距映射一定是單射。任意兩個度量空間之間的等距同構都必然是一個拓撲嵌入。

等距同構是一一對應的保距映射，有時也被稱為全局等距同構。還有一種定義是路徑等距同構，指保持所有曲線長度的映射（不一定是一一對應的）。

如果兩個度量空間之間存在一個等距同構，就稱它們兩個為等距同構的。所有從一個度量空間到另一個的等距同構關於映射的複合運算組成一個群，稱為等距同構群。

例子

• 所有度量空間到自身的恆等映射都是等距同構。
• 在歐幾里得空間中，平移變換、旋轉變換、反射變換以及它們的複合都是等距同構。
• 內積空間 ${\displaystyle C^{n}}$ 上的線性等距同構是所有的酉變換^[1]。

線性等距同構

在賦範向量空間之間可以定義線性等距同構：所有保持範數的線性映射：

${\displaystyle \|f(v)\|=\|v\|}$

線性等距同構一定是保距映射，因此如果是滿射，就是（全局）等距同構。

係數域為實數的賦範向量空間上的等距同構一定是仿射變換。

參見

• 對合
• 同胚