曲線

曲（ㄑㄩ）線指動點在空間中運動方向連續變化的軌跡^[1][2]。直線是特殊的曲線^[3]。

在現代數學中，曲線的定義是連續函數在拓撲空間上區間的圖像。

歷史

• 若爾當曲線定理
• 變分法（最速降線問題、等時降線）
• 希爾伯特第十六問題
• 皮亞諾曲線和其他Space-filling curve（英語：Space-filling curve）
• 卷繞數

定義

在數學上，一條曲線的定義為：

設${\displaystyle I=[a,b]}$為一實數區間，即實數集的非空子集，那麼曲線${\displaystyle c}$就是一個連續函數${\displaystyle c:I\rightarrow X}$的映射，其中${\displaystyle X}$為一個拓撲空間。

我們常遇到的平面曲線的拓撲空間為${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$。

若f是單射的，則 c是簡單曲線（simple curve）。

若${\displaystyle I=[a,b]}$和${\displaystyle f(a)=f(b)}$，f是閉曲線（closed curve）或環圈。

曲線方程

參見：參數方程

一般來說，當在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$下一些符合一條方程的點的集合組成一條曲線時，那方程就叫那曲線的曲線方程（curvilinear equation，curve equation）。

例如，${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$是單位圓的曲線方程，因為有且僅有單位圓上的點符合這條方程；因這些點組成一個單位圓，故該方程正代表著平面上的單位圓。

曲線長度

參見：弧長

若${\displaystyle \gamma (t):[a,b]\to X\subset R^{n}}$，則其長度是

$${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}\left|\gamma '(t)\right|\mathrm {d} t}$$

平面曲線

例如，若一條平面曲線可表達成標準方程${\displaystyle y=f(x)}$，那麼它的長度就是：

$${\displaystyle \int _{a}^{b}{{\sqrt {\left[f'\left(x\right)\right]^{2}+1}}\;{\rm {d}}x}}$$

其中${\displaystyle a\,}$、${\displaystyle b\,}$為${\displaystyle x\,}$的上下限。

若平面曲線可表達成參數方程${\displaystyle x(t),y(t)}$，那麼它的長度就是：

$${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }{{\sqrt {\left({x'}\right)^{2}+\left({y'}\right)^{2}}}{\rm {d}}t}}$$

其中${\displaystyle \alpha \,}$、${\displaystyle \beta \,}$為${\displaystyle t\,}$的上下限。