相对熵

KL散度（Kullback-Leibler divergence，簡稱KLD）^[1]，在訊息系統中稱為相對熵（relative entropy），在連續時間序列中稱為隨機性（randomness），在統計模型推斷中稱為訊息增益（information gain）。也稱訊息散度（information divergence）。

KL散度是兩個機率分布P和Q差別的非對稱性的度量。 KL散度是用來度量使用基於Q的分布來編碼服從P的分布的樣本所需的額外的平均位元數。典型情況下，P表示資料的真實分布，Q表示資料的理論分布、估計的模型分布、或P的近似分布。^[1]

定義

對於離散隨機變數，其機率分布P 和 Q的KL散度可按下式定義為

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=-\sum _{i}P(i)\ln {\frac {Q(i)}{P(i)}}.\!}$

等價於

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\sum _{i}P(i)\ln {\frac {P(i)}{Q(i)}}.\!}$

即按機率P求得的P和Q的對數商的平均值。KL散度唯若機率P和Q各自總和均為1，且對於任何i皆滿足${\displaystyle Q(i)>0}$及${\displaystyle P(i)>0}$時，才有定義。式中出現${\displaystyle 0\ln 0}$的情況，其值按0處理。

對於連續隨機變數，其機率分布P和Q的KL散度可按積分方式定義為 ^[2]

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\ln {\frac {p(x)}{q(x)}}\,{\rm {d}}x,\!}$

其中p和q分別表示分布P和Q的密度。

更一般的，若P和Q為集合X的機率測度，且P關於Q絕對連續，則從P到Q的KL散度定義為

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\int _{X}\ln {\frac {{\rm {d}}P}{{\rm {d}}Q}}\,{\rm {d}}P,\!}$

其中，假定右側的表達形式存在，則${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}Q}{{\rm {d}}P}}}$為Q關於P的R–N導數。

相應的，若P關於Q絕對連續，則

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\int _{X}\ln {\frac {{\rm {d}}P}{{\rm {d}}Q}}\,{\rm {d}}P=\int _{X}{\frac {{\rm {d}}P}{{\rm {d}}Q}}\ln {\frac {{\rm {d}}P}{{\rm {d}}Q}}\,{\rm {d}}Q,}$

即為P關於Q的相對熵。

特性

相對熵的值為非負數：

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)\geq 0,\,}$

由吉布斯不等式可知，若且唯若${\displaystyle P=Q}$時${\displaystyle D_{KL}(P\|Q)}$為零。

儘管從直覺上KL散度是個度量或距離函式, 但是它實際上並不是一個真正的度量或距離。因為KL散度不具有對稱性：從分布P到Q的距離通常並不等於從Q到P的距離。

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)\neq D_{\mathrm {KL} }(Q\|P)}$

KL散度和其它量的關係

自資訊和KL散度

${\displaystyle I(m)=D_{\mathrm {KL} }(\delta _{im}\|\{p_{i}\}),}$

相互資訊和KL散度

${\displaystyle {\begin{aligned}I(X;Y)&=D_{\mathrm {KL} }(P(X,Y)\|P(X)P(Y))\\&=\mathbb {E} _{X}\{D_{\mathrm {KL} }(P(Y|X)\|P(Y))\}\\&=\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }(P(X|Y)\|P(X))\}\end{aligned}}}$

資訊熵和KL散度

${\displaystyle {\begin{aligned}H(X)&=\mathrm {(i)} \,\mathbb {E} _{x}\{I(x)\}\\&=\mathrm {(ii)} \log N-D_{\mathrm {KL} }(P(X)\|P_{U}(X))\end{aligned}}}$

條件熵和KL散度

${\displaystyle {\begin{aligned}H(X|Y)&=\log N-D_{\mathrm {KL} }(P(X,Y)\|P_{U}(X)P(Y))\\&=\mathrm {(i)} \,\,\log N-D_{\mathrm {KL} }(P(X,Y)\|P(X)P(Y))-D_{\mathrm {KL} }(P(X)\|P_{U}(X))\\&=H(X)-I(X;Y)\\&=\mathrm {(ii)} \,\log N-\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }(P(X|Y)\|P_{U}(X))\}\end{aligned}}}$

交叉熵和KL散度

${\displaystyle \mathrm {H} (p,q)=\mathrm {E} _{p}[-\log q]=\mathrm {H} (p)+D_{\mathrm {KL} }(p\|q).\!}$

參見

• 熵 (資訊理論)
• 交叉熵
• 斯坦因引理（英語：Stein's lemma）