馮·諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論

馮·諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論（英語：von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory，NBG）是種以類為直觀動機的一階公理化集合論，它是策梅洛-法蘭克爾集合論（英語：Zermelo-Fraenkel Set Theory，ZF）的保守擴展（ZF裡可以證明的定理也都是NBG的定理）^[1]，而且NBG僅需在一階邏輯基本的公理模式上添加有限數目的公理，但ZFC需添加與集合有關的公理模式^[2]。

NBG首先由馮·諾伊曼在1920年代提出，從1937年開始由保羅·博內斯（英語：Paul Bernays）作修改，在1940年由哥德爾進一步簡化。

基本符號

在NBG下，「屬於關係」以一個雙元斷言符號 ${\displaystyle P(x,\,y)}$ 來表示， ${\displaystyle P(x,\,y)}$ 通常簡記為 ${\displaystyle x\in y}$ ，並被直觀理解成「x屬於y」；類似地， ${\displaystyle P(x,\,y)}$ 的否定 ${\displaystyle \neg P(x,\,y)}$ 通稱被簡記為 ${\displaystyle x\notin y}$ ，並被直觀理解為「x不屬於y」。

以下都把 ${\displaystyle \vdash _{NBG}}$ 簡寫為普通的 ${\displaystyle \vdash }$。

本條目定理的證明會頻繁引用一階邏輯的定理，定理的代號可以參見一階邏輯#常用的推理性質一節。

類與集合

「類」這個名詞在公理化集合論出現之前，通常被理解為「以集合為元素的集合。」或是集合（如等價類）。

但NBG所談及的一切對象（變數和項）都是類。而所謂的集合，是屬於某個類的類，也就是說以下的合式公式（${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 來自德語的"集合"「Menge」）式

${\displaystyle {\mathcal {M}}(x):=\exists y(x\in y)}$

可直觀理解為「x是集合」，特別注意到，為了避免跟其他合式公式的變數產生混淆， ${\displaystyle y}$ 必須是展開 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(x)}$ 時首次出現的變數。反之合式公式

${\displaystyle {\mathcal {Pr}}(x):=\neg {\mathcal {M}}(x)}$

可稱為「 ${\displaystyle x}$ 是真類（proper class）」。

子類

直觀上「x包含於y」意為「所有x的元素a都會屬於y」，以此為動機，NBG有以下的符號簡寫

${\displaystyle x\subseteq y:=\forall a[\,(a\in x)\Rightarrow (a\in y)\,]}$

以上可稱為「x包含於y」或「x是y的子類（subclass）」；在 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(x)}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(y)}$ 成立的前提下（也就是「x和y都是集合」），可稱為「x是y的子集（subset）」。

與集合相關的量詞簡寫

仿造量詞的簡寫，對於任意變數 ${\displaystyle x}$ 與合式公式 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ，可作如下的符號定義

${\displaystyle ({\forall }^{M}x){\mathcal {A}}:=\forall x[\,{\mathcal {M}}(x)\Rightarrow {\mathcal {A}}\,]}$ （對所有 ${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle x}$ 是集合則 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ）

${\displaystyle ({\exists }^{M}x){\mathcal {A}}:=\exists x[\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {A}}\,]}$ （存在 ${\displaystyle x}$ 不但是集合且 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ）

也有書籍以小寫字母來表示被量化的集合變數^[3]，但考慮到一般的非邏輯數學書籍都將大小寫的差異挪作他用，為避免混淆本條目採用以上的上標表示法。

等號公理

看待等號的不同方式

直觀上，兩個集合相等意為「x的元素就是y的元素」，也就是樸素集合論的外延公理，換句話說，可用以下的嚴謹合式公式重寫為

${\displaystyle \forall a[\,(a\in x)\Leftrightarrow (a\in y)\,]}$

但一階邏輯的等號可以視為單獨的斷言符號，也可以視為一條複合的合式公式。具體來說，視為一個新的斷言符號 ${\displaystyle Q(x,\,y)}$ 並簡記為 ${\displaystyle x=y}$ 的話，需在NBG內額外添加以下的公理

${\displaystyle (T^{\prime })}$ — ${\displaystyle (x=y)\Leftrightarrow \forall a[\,(a\in x)\Leftrightarrow (a\in y)\,]}$

直觀上可理解為「類x的元素就是類y的元素，等價於類x等於類y」。

但視為一條合式公式，則僅需做以下的符號定義

${\displaystyle (x=y):=\forall a[\,(a\in x)\Leftrightarrow (a\in y)\,]}$

不管是何種看待方法，習慣上都會把 ${\displaystyle \neg (x=y)}$ 簡記成 ${\displaystyle (x\neq y)}$ （直觀上的「不相等」）。

等號的良置

為了確保 ${\displaystyle (x=y)}$ 的確符合直觀上對等號的要求，還需添加以下的公理

${\displaystyle (T)}$ — ${\displaystyle (x=y)\Rightarrow \forall z[\,(x\in z)\Leftrightarrow (y\in z)\,]}$

直觀上，這個公理確保「x等於y，則x屬於z等同於y屬於z」。

這樣，以下的元定理就確保了如此定義的等號是「成功的」。

元定理 — NBG是帶相等符號 ${\displaystyle (x=y)}$ 的一階邏輯理論

證明

以下的證明會逐條檢驗等式定理一節所條列的定義 （E1）： ${\displaystyle (x=x)}$ 展開來是（或等價於） ${\displaystyle \forall a[\,(a\in x)\Leftrightarrow (a\in x)\,]}$ 那考慮到恆等關係和(AND)有 ${\displaystyle \vdash (a\in x)\Leftrightarrow (a\in x)}$ 那再套用(GEN)，就會有 ${\displaystyle \vdash \forall a[\,(a\in x)\Leftrightarrow (a\in x)\,]}$ 所以（E1）得證。 （E2）： 因為目前的NBG理論內沒有任何函數符號，所以對變數 ${\displaystyle x}$ 來說，NBG的原子公式只有 ${\displaystyle (x\in z)}$ 和 ${\displaystyle (z\in x)}$ 兩種可能，這樣的話，（E2）等同於要求以下兩式是NBG的定理 (1) ${\displaystyle (x=y)\Rightarrow [\,(x\in z)\Rightarrow (y\in z)\,]}$ (2) ${\displaystyle (x=y)\Rightarrow [\,(z\in x)\Rightarrow (z\in y)\,]}$ 但依據量詞公理（A4），(1)可從本節一開始添加的公理（T）所推出；類似地，把 ${\displaystyle (x=y)}$ 視為斷言符號時，(2)都可以從（T'）配合（A4）推出；若把 ${\displaystyle (x=y)}$ 視為合式公式的簡寫，(2)也可以用 ${\displaystyle (x=y)}$ 的定義配上（A4）推出。 （E3）： 本條定義要求以下的合式公式為NBG的定理 ${\displaystyle (x=y)\Rightarrow (y=x)}$ 從且的交換性有 ${\displaystyle \vdash (\forall z)[(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]\Rightarrow (\forall z)[(z\in y)\Leftrightarrow (z\in x)]}$ 對上式使用(AND)和(D1)就有 ${\displaystyle (x=y)\vdash (\forall z)[(z\in y)\Leftrightarrow (z\in x)]}$ 再對上面式使用(AND)和(D1)又有 ${\displaystyle (x=y)\vdash (y=x)}$ 所以（E3）的確是NBG的定理。 綜上所述，定理得證。${\displaystyle \Box }$

真子類

在定義「相等」以後，可以把「相等的類」排除出子類的定義中，換句話說，NBG有以下的符號定義

${\displaystyle x\subset y:=(x\subseteq y)\wedge (x\neq y)}$

可直觀理解為「x是y的真子類（proper subclass），定義為x包含於y且x不等於y」；在 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(x)}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(y)}$ 成立的前提下（也就是「x和y都是集合」），可稱為「x是y的真子集（proper subset）」。

外延定理

為以下的定理可直觀理解為「x等於y等價於，對所有集合z，z屬於x等價於z屬於y」，也就是說，等於的定義可以「限縮」成元素為集合的狀況。

外延定理 — ${\displaystyle \vdash (x=y)\Leftrightarrow (\forall ^{M}z)[\,(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)\,]}$

證明

以下取一個不曾出現的變數 ${\displaystyle t}$ 來展開 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(z)}$ (${\displaystyle \Rightarrow }$)${\displaystyle \forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\vdash \forall z\{\exists t(z\in t)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]\}}$ (1)${\displaystyle \forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)}$ (Hyp) (2)${\displaystyle z\in x\Leftrightarrow z\in y}$ (MP with 1, A4) (3)${\displaystyle \exists t(z\in t)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]}$ (MP with 2, A1) (4)${\displaystyle \forall z\{\exists t(z\in t)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]\}}$ (GEN with 3) (${\displaystyle \Leftarrow }$)${\displaystyle \forall z\{{\mathcal {M}}(z)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]\}\vdash \forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}:=(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)}$ (1)${\displaystyle \forall z[\exists t(z\in t)\Rightarrow {\mathcal {A}}]}$ (Hyp) (2)${\displaystyle \exists t(z\in t)\Rightarrow {\mathcal {A}}}$ (MP with A4, 1) (3)${\displaystyle \neg {\mathcal {A}}\Rightarrow \forall t[\neg (z\in t)]}$ (MP with T, 2) (4) ${\displaystyle \neg {\mathcal {A}}\Rightarrow [\neg (z\in t)]}$ (D1, with A4, 3) (5)${\displaystyle (z\in t)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]}$ (MP with T, 4) (6)${\displaystyle \forall t\{(z\in t)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]\}}$ (GEN with 5) (7)${\displaystyle (z\in x)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]}$ (MP with A4, 6) (8)${\displaystyle (z\in y)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]}$ (MP with A4, 6) (9)${\displaystyle (z\in x)\Rightarrow [(z\in x)\Rightarrow (z\in y)]}$ (D1 with AND, 7) (10)${\displaystyle (z\in y)\Rightarrow [(z\in y)\Rightarrow (z\in x)]}$ (D1 with AND, 8) (11)${\displaystyle (z\in x)\Rightarrow (z\in y)}$ (MP twice with A2, I, 9) (12)${\displaystyle (z\in y)\Rightarrow (z\in x)}$ (MP twice with A2, I, 10) (13)${\displaystyle (z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)}$ (AND with 11, 12) (14)${\displaystyle \forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)}$ (GEN with 13)

引入新的函數符號前，常需要唯一存在性的證明，而外延定理大大簡化了證明的難度。

特定條件下的存在性

以下關於一階邏輯的一般性定理，也大大簡化了 NBG 引入新公理的過程所需的證明

（DC, Definition under certain condition） — ${\displaystyle x}$ 於合式公式 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 完全不自由且 ${\displaystyle c}$ 是常數符號。若

${\displaystyle {\mathcal {A}}\vdash (\exists x){\mathcal {B}}}$　

則有

${\displaystyle \vdash (\exists x)\{\,[\,\neg {\mathcal {A}}\wedge (x=c)\,]\vee ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})\,\}}$

證明

(1)${\displaystyle {\mathcal {A}}\Rightarrow (\exists x){\mathcal {B}}}$ (Hyp) (2)${\displaystyle (\forall x)\{\neg \{[\neg {\mathcal {A}}\wedge (x=c)]\vee ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})\}\}}$ (Hyp) (3)${\displaystyle \neg \{[\neg {\mathcal {A}}\wedge (x=c)]\vee ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})\}}$ (MP with A4, 2) (4)${\displaystyle \neg [\neg {\mathcal {A}}\wedge (x=c)]\wedge \neg ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})}$ (MP with 3, DIS) (5)${\displaystyle \neg [\neg {\mathcal {A}}\wedge (x=c)]}$ (MP with AND,4) (6)${\displaystyle \neg ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})}$ (MP with AND, 4) (7)${\displaystyle \neg {\mathcal {A}}\Rightarrow \neg (x=c)}$ (MP with DIS, DN 5) (8)${\displaystyle {\mathcal {A}}\Rightarrow \neg {\mathcal {B}}}$ (MP with DIS, DN, 5) (9)${\displaystyle {\mathcal {B}}\Rightarrow \neg {\mathcal {A}}}$ (MP with T, 8) (10)${\displaystyle (\exists x){\mathcal {B}}\Rightarrow \neg {\mathcal {A}}}$ (GENe with 9) (11)${\displaystyle {\mathcal {A}}\Rightarrow \neg (\exists x){\mathcal {B}}}$ (MP with T, 11) (12)${\displaystyle \neg {\mathcal {A}}}$ (A3' with 1, 11) (13)${\displaystyle \neg (x=c)}$ (MP with 7, 12) (14)${\displaystyle (\forall x)[\neg (x=c)]}$ (GEN with 13) 再套用一次（DN）也就是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}\Rightarrow (\exists x){\mathcal {B}}\,\vdash (\forall x)\{\neg \{[\neg {\mathcal {A}}\wedge (x=c)]\vee ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})\}\}\Rightarrow \neg (\exists x)(x=c)}$ 但由一階邏輯的等式性質有 ${\displaystyle \vdash c=c}$ 對上式以變數 ${\displaystyle x}$ 套用一次(GENe)有 ${\displaystyle \vdash (\exists x)(x=c)}$ 所以由(C2)本定理就會得證。${\displaystyle \Box }$

空集合公理

${\displaystyle (N)}$ — ${\displaystyle ({\exists }^{M}x)({\forall }^{M}y)(y\not \in x)}$

這個公理的直觀意思是「存在集合x，使的所有集合y都不屬於x」。

事實上這個公理還確保了空集的唯一性，嚴格來說，它確保了：

定理 — ${\displaystyle \vdash (\exists !x)[\,{\mathcal {M}}(x)\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in x)\,]}$

證明

假設 ${\displaystyle ({\forall }^{M}y)(y\not \in x)}$ ${\displaystyle ({\forall }^{M}y)(y\not \in t)}$ 那根據量詞公理的(A4)有 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(y)\Rightarrow (y\not \in x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(y)\Rightarrow (y\not \in t)}$ 另一方面，根據常用的推理性質的(M0)有 ${\displaystyle \vdash (y\not \in x)\Rightarrow [\,(y\in x)\Rightarrow (y\in t)\,]}$ ${\displaystyle \vdash (y\not \in t)\Rightarrow [\,(y\in t)\Rightarrow (y\in x)\,]}$ 這樣根據演繹定理的推論(D1)有 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(y)\Rightarrow [\,(y\in x)\Rightarrow (y\in t)\,]}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(y)\Rightarrow [\,(y\in t)\Rightarrow (y\in x)\,]}$ 這樣根據常用的推理性質(T)有 ${\displaystyle \neg [\,(y\in x)\Rightarrow (y\in t)\,]\Rightarrow \neg {\mathcal {M}}(y)}$ ${\displaystyle \neg [\,(y\in t)\Rightarrow (y\in x)\,]\Rightarrow \neg {\mathcal {M}}(y)}$ 這樣根據德摩根定律和邏輯與的(DisJ)有 ${\displaystyle \neg \{\,[\,(y\in x)\Rightarrow (y\in t)\,]\wedge [\,(y\in t)\Rightarrow (y\in x)\,]\,\}\Rightarrow \neg {\mathcal {M}}(y)}$ 這樣再根據(T)有 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(y)\Rightarrow [\,(y\in x)\Leftrightarrow (y\in t)\,]}$ 這樣根據普遍化有 ${\displaystyle (\forall ^{M}y)[\,(y\in x)\Leftrightarrow (y\in t)\,]}$ 那這樣根據上節的外延定理有 ${\displaystyle x=t}$ 換句話說 ${\displaystyle \vdash [\,({\forall }^{M}y)(y\not \in x)\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in t)\,]\Rightarrow (x=t)}$ 這樣根據邏輯與的直觀性質和(D1)有 ${\displaystyle \vdash \{\,[\,{\mathcal {M}}(x)\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in x)\,]\wedge [\,{\mathcal {M}}(t)\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in t)\,]\,\}\Rightarrow (x=t)}$ 這樣根據普遍化有 ${\displaystyle \vdash (\forall x)(\forall t){\big \{}\,\{\,[\,{\mathcal {M}}(x)\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in x)\,]\wedge [\,{\mathcal {M}}(t)\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in t)\,]\,\}\Rightarrow (x=t)\,{\big \}}}$ 再綜合本節的空集合公理（N），本定理就得証了。${\displaystyle \Box }$

也就是直觀上，「空集是唯一存在的」，這樣根據函數符號與唯一性一節，可以在NBG加入新的常數符號 ${\displaystyle \varnothing }$ 和以下的新公理（嚴格來說，把完全沒有函數符號和常數符號的NBG擴展成有 ${\displaystyle \varnothing }$ 的新NBG，但兩個理論是等效的）

${\displaystyle (N^{\prime })}$ — ${\displaystyle {\mathcal {M}}(\varnothing )\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in \varnothing )}$

這個新公理直觀上以「${\displaystyle \varnothing }$為集合，且任意集合y都不屬於${\displaystyle \varnothing }$」，把 ${\displaystyle \varnothing }$ 定義成了空集的表示符號。

配對公理

${\displaystyle (P)}$ — ${\displaystyle ({\forall }^{M}x)({\forall }^{M}y)({\exists }^{M}p)({\forall }^{M}z)\{(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\}}$

這個公理的直觀意思是「對所有集合x和集合y，存在一個僅以x跟y為元素的集合p」。

這個公理還確保了以下的唯一性：

定理（P-1） — ${\displaystyle {\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\vdash (\exists !p){\big \{}\,{\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}}$

證明

根據量詞的簡寫，配對公理(P)等價於 ${\displaystyle (\forall x)(\forall y){\bigg \{}\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\Rightarrow (\exists p){\big \{}\,{\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}\,{\bigg \}}}$ 這樣對上式套用兩次量詞公理的(A4)有 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\Rightarrow (\exists p){\big \{}\,{\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}}$ 這樣在有 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)}$ 的前提就有 ${\displaystyle (\exists p){\big \{}\,{\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}}$ 所以 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\vdash (\exists p){\big \{}\,{\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}}$ 另一方面，若假設 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(\pi )\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in \pi )\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}}$ 這樣根據邏輯與的直觀性質有 ${\displaystyle ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}}$ ${\displaystyle ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in \pi )\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}}$ 再根據(A4)有 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(z)\Rightarrow \{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(z)\Rightarrow \{\,(z\in \pi )\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}}$ 如果再假設 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(z)}$ ，根據MP律有 ${\displaystyle (z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]}$ ${\displaystyle (z\in \pi )\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]}$ 這樣根據演繹定理的推論(D1)和邏輯與的直觀性質有 ${\displaystyle (z\in p)\Leftrightarrow (z\in \pi )}$ 也就是說 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi ),\,{\mathcal {M}}(z)\,\vdash \,(z\in p)\Leftrightarrow (z\in \pi )}$ 其中 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p):={\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}}$ 因為變數 ${\displaystyle z}$ 在 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\pi )}$ 內完全不自由，對上式套用演繹定理(D)將 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(z)}$ 移到右方後，再對 ${\displaystyle z}$ 套用普遍化會有 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,\vdash \,(\forall ^{M}z)[\,(z\in p)\Leftrightarrow (z\in \pi )\,]}$ 這樣根據本條目的外延定理有 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,\vdash \,(p=\pi )}$ 那以演繹定理(D)將 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )}$ 移到右方，然後接連對 ${\displaystyle p}$ 和 ${\displaystyle \pi }$ 使用普遍化有 ${\displaystyle \vdash (\forall p)(\forall \pi )[\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\Rightarrow (p=\pi )\,]}$ 故本定理得証。${\displaystyle \Box }$

這樣的話會有

定理 — ${\displaystyle \vdash (\exists !p){\bigg \{}\,\{\,\neg [\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\,]\wedge (p=\varnothing )\,\}\vee {\big \{}\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\wedge {\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}\,{\bigg \}}}$

證明

根據（P-1）和本條目的特定條件下的存在性(DC)會有 （P-2）${\displaystyle \vdash (\exists p){\bigg \{}\,\{\,\neg [\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\,]\wedge (p=\varnothing )\,\}\vee {\big \{}\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\wedge {\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}\,{\bigg \}}}$ 設 ${\displaystyle {\mathcal {A}}(p):=\neg [\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\,]\wedge (p=\varnothing )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p):={\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\wedge {\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}:={\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)}$ 那連續套用邏輯與合邏輯或的分配律與邏輯與的交換性會有 ${\displaystyle \vdash \{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\vee {\mathcal {B}}(p)\,]\wedge [\,{\mathcal {A}}(\pi )\vee {\mathcal {B}}(\pi )\,]\,\}\Leftrightarrow {\big \{}\,\{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\wedge {\mathcal {A}}(\pi )\,]\vee [\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {A}}(\pi )\,]\,\}\vee \{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,]\vee [\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,]\,\}\,{\big \}}}$ 但考慮到邏輯與的直觀性質和邏輯與的定義有 ${\displaystyle \vdash [\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {A}}(\pi )\,]\Rightarrow (\neg {\mathcal {C}}\wedge {\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle \vdash [\,{\mathcal {A}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,]\Rightarrow (\neg {\mathcal {C}}\wedge {\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle \vdash (\neg {\mathcal {C}}\wedge {\mathcal {C}})\Leftrightarrow \neg ({\mathcal {C}}\Rightarrow {\mathcal {C}})}$ 那根據恆等關係${\displaystyle (I)}$和常用的推理性質(T)有 ${\displaystyle \vdash \neg [\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {A}}(\pi )\,]}$ ${\displaystyle \vdash \neg [\,{\mathcal {A}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,]}$ 所以根據邏輯或的定義來重複使用演繹定理的推論(D1)會有 ${\displaystyle \vdash \{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\vee {\mathcal {B}}(p)\,]\wedge [\,{\mathcal {A}}(\pi )\vee {\mathcal {B}}(\pi )\,]\,\}\Leftrightarrow \{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\wedge {\mathcal {A}}(\pi )\,]\vee [\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,]\,\}}$ 然後從NBG的等式定理會有 ${\displaystyle \vdash [\,{\mathcal {A}}(p)\wedge {\mathcal {A}}(\pi )\,]\Rightarrow (p=\pi )}$ 另一方面，根據（P-1）有 ${\displaystyle \vdash [\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,]\Rightarrow (p=\pi )}$ 這樣結合邏輯與的(DisJ)有 ${\displaystyle \vdash \{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\vee {\mathcal {B}}(p)\,]\wedge [\,{\mathcal {A}}(\pi )\vee {\mathcal {B}}(\pi )\,]\,\}\Rightarrow (p=\pi )}$ 再對 ${\displaystyle p}$ 和 ${\displaystyle \pi }$ 套用普遍化有 ${\displaystyle \vdash (\forall p)(\forall \pi ){\bigg \{}\,\{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\vee {\mathcal {B}}(p)\,]\wedge [\,{\mathcal {A}}(\pi )\vee {\mathcal {B}}(\pi )\,]\,\}\Rightarrow (p=\pi )\,{\bigg \}}}$ 這樣結合剛剛的（P-2）與邏輯與的直觀性質，本定理就得證了。${\displaystyle \Box }$

所以根據函數符號與唯一性一節，可以在NBG加入新的雙元函數符號 ${\displaystyle f_{p}^{2}(x,\,y)}$（簡記為 ${\displaystyle \{x,\,y\}}$ ）和以下的新公理

${\displaystyle (P^{\prime })}$ — 
${\displaystyle {\bigg \{}\neg [\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\,]\wedge (\{x,\,y\}=\varnothing ){\bigg \}}\vee }$
${\displaystyle {\bigg \{}{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\wedge {\mathcal {M}}\left(\{x,\,y\}\right)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in \{x,\,y\})\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}{\bigg \}}}$

這個新公理的直觀意思是「若x和y為集合，則 ${\displaystyle \{x,\,y\}}$ 就是那個只以x和y為元素的集合；但反之，若x和y不全為集合，則 ${\displaystyle \{x,\,y\}}$ 為空集」。

有序對

${\displaystyle \{x\}:=\{x,\,x\}}$

${\displaystyle \langle x\rangle :=\{x\}}$

${\displaystyle \langle x,\,y\rangle :=\{\{x\},\,\{x,\,y\}\}}$

${\displaystyle \langle x_{1},\,\dots ,\,\,x_{n},\,x_{n+1}\rangle :=\langle \langle x_{1},\,\dots ,\,\,x_{n}\rangle ,\,x_{n+1}\rangle }$

在不跟括弧產生混淆的情況下，也可以把${\displaystyle \langle x_{1},\,\dots ,\,\,x_{n},\,x_{n+1}\rangle }$記為${\displaystyle (x_{1},\,\dots ,\,\,x_{n},\,x_{n+1})}$。

關係

${\displaystyle Rel(f):=(\forall ^{M}a){\big \{}\,(a\in f)\Rightarrow (\exists x)(\exists y)\{\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\wedge [\,a=(x,\,y)\,]\,\}\,{\big \}}}$

類函數

${\displaystyle Fnc(f):=Rel(f)\wedge (\forall ^{M}x)(\forall ^{M}y)(\forall ^{M}\upsilon )\{\,[\,(x,\,y)\in f\wedge (x,\,\upsilon )\in f\,]\Rightarrow (y=\upsilon )\,\}}$

類函數跟普通函數的差別在於普通函數是個集合。

類的存在公理

屬於類公理

${\displaystyle (K_{\in })}$ — ${\displaystyle (\exists e)(\forall ^{M}a)(\forall ^{M}b)\{[(a,\,b)\in e]\Leftrightarrow (a\in b)\}}$

交類公理

${\displaystyle (K_{i})}$ — ${\displaystyle (\forall x)(\forall y)(\exists i)({\forall }^{M}a)\{(a\in i)\Leftrightarrow [(a\in x)\wedge (a\in y)]\}}$

補類公理

${\displaystyle (K_{c})}$ — ${\displaystyle (\forall x)(\exists c)({\forall }^{M}a)[(a\in c)\Leftrightarrow (a\not \in x)]}$

定義域公理

${\displaystyle (K_{D})}$ — ${\displaystyle (\forall x)(\exists d)(\forall ^{M}a)\{(a\in d)\Leftrightarrow (\exists ^{M}b)[(a,\,b)\in x]\}}$

積類公理

${\displaystyle (K_{p})}$ — ${\displaystyle (\forall x)(\exists p)(\forall ^{M}a)(\forall ^{M}b)\{[\,(a,\,b)\in p\,]\Leftrightarrow (a\in x)\}}$

置換類公理

${\displaystyle (K_{\sigma 1})}$ — ${\displaystyle (\forall x)(\exists \sigma )(\forall ^{M}a)(\forall ^{M}b)(\forall ^{M}c)\{[(a,\,b,\,c)\in x]\Leftrightarrow [(b,\,c,\,a)\in \sigma ]\}}$

${\displaystyle (K_{\sigma 2})}$ — ${\displaystyle (\forall x)(\exists \sigma )(\forall ^{M}a)(\forall ^{M}b)(\forall ^{M}c)\{[(a,\,b,\,c)\in x]\Leftrightarrow [(a,\,c,\,b)\in \sigma ]\}}$

類的存在元定理

這個元定理對應到ZFC爾集合論的分類公理。

首先需要遞歸地定義「可敘述公式」（predicative well-formed formula）：

• 對任意變數 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ ，${\displaystyle x\in y}$ 為可敘述公式。
• 若 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 與 ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ 為可敘述公式， ${\displaystyle x}$ 為任意變數，則 ${\displaystyle (\neg {\mathcal {P}})}$ 、 ${\displaystyle ({\mathcal {P}}\Rightarrow {\mathcal {Q}})}$ 與 ${\displaystyle (\forall ^{M}x){\mathcal {P}}}$ 都是可敘述公式。

這樣依據上列諸類存在公理，就有以下元定理：

類的存在元定理 — 
${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 為一條只內含變數 ${\displaystyle x_{1},\,\dots ,\,x_{n},\,y_{1},\,\dots ,\,y_{m}}$ 的可敘述公式，則有

${\displaystyle \vdash (\exists s)(\forall ^{M}x_{1})\ldots (\forall ^{M}x_{n})[(\langle x_{1},\,\dots ,\,x_{n}\rangle \in s)\Leftrightarrow {\mathcal {P}}]}$

證明

集合的公理

併集公理

${\displaystyle (U)}$ — ${\displaystyle (\forall ^{M}x)(\exists ^{M}u)(\forall ^{M}a)[(a\in u)\Leftrightarrow (\exists ^{M}\xi \in x)(a\in \xi )]}$

冪集公理

${\displaystyle (W)}$ — ${\displaystyle (\forall ^{M}x)(\exists ^{M}w)(\forall ^{M}\xi )\{(\xi \in w)\Leftrightarrow (\xi \subseteq x)\}}$

子集公理

${\displaystyle (S)}$ — ${\displaystyle (\forall ^{M}x)(\forall y)(\exists ^{M}z)(\forall ^{M}a)\{(a\in z)\Leftrightarrow [(a\in x)\wedge (a\in y)]\}}$

無窮公理

${\displaystyle (I)}$ — ${\displaystyle (\exists ^{M}I)\{(\varnothing \in I)\wedge (\forall ^{M}a)[(a\in I)\Rightarrow (a\cap \{a\}\in I)]\}}$

取代公理及其替代

${\displaystyle (R)}$ — ${\displaystyle Fnc(f)\Rightarrow (\forall ^{M}x)(\exists ^{M}r)(\forall ^{M}b){\bigg \{}(b\in r)\Rightarrow (\exists ^{M}a)\{(\langle a,\,b\rangle \in r)\wedge (a\in x)\}{\bigg \}}}$

直觀意義為「${\displaystyle f}$ 為類函數則對任意集合 ${\displaystyle x}$ ，存在一個集合 ${\displaystyle r}$ ，正好就是在 ${\displaystyle f}$ 的規則下映射出的像」。

大小限制公理

• 對於任何類 C，存在一個集合 x 使得 ${\displaystyle Rp(C,x)}$ （謂 x 是 C 的表示，即 C 和 x 所包含的元素一樣），若且唯若沒有在 C 和所有集合的類 V 之間的雙射。

這個公理貢獻自馮·諾伊曼，並一下實現了分離公理、替代公理和全局選擇公理。他效力相當於原始的替代公理加上這選擇公理。完全的大小限制公理蘊涵了全局選擇公理，因為序數的類不是集合，所以有從序數到全集的雙射。

選擇公理

引用

• Bernays, Paul. Axiomatic Set Theory. Dover Publications. 1991. ISBN 978-0-486-66637-2.
• John von Neumann, 1925, "An Axiomatization of Set Theory." English translation in Jean van Heijenoort, ed., 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press.
• Mendelson, Elliott, 1997 (1964). An Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. Chapman & Hall. The classic textbook treatment of NBG set theory, showing how it can found mathematics.
• Richard Montague, 1961, "Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I," in Infinitistic Methods, Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, (Warsaw, 2-9 September 1959). Pergamon: 45-69.
• von Neumann-Bernays-Gödel set theory. PlanetMath.